作业帮2013年淮安市数学中考压轴题（求过程）
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/06 02:54:46
2013年淮安市数学中考压轴题（求过程）
如图,在△ABC中,∠C=90°,BC=3,AB=5.点P从点B出发,以每秒1个单位长度沿B→C→A→B的方向运动；点Q从点C出发,以每秒2个单位长度沿C→A→B的方向运动,到达点B后立即原速返回,若P、Q两点同时运动,相遇后同时停止,设运动时间为t秒.
（1）当t= ▲ 时,点P与点Q相遇；
（2）在点P从B点到点C的运动中,当t为何值时,△PCQ为等腰三角形?
（3）在点Q从点B返回点A的运动过程中,设△PCQ的面积为s平方单位.
①求s与t之间的函数关系式；
②当s最大时,过点P作直线AB交于点D,将△ABC沿直线PD折叠,使点A落在直线PC上,求折叠后的△APD与△PCQ重叠部分的面积
如图,在△ABC中,∠C=90°,BC=3,AB=5.点P从点B出发,以每秒1个单位长度沿B→C→A→B的方向运动；点Q从点C出发,以每秒2个单位长度沿C→A→B的方向运动,到达点B后立即原速返回,若P、Q两点同时运动,相遇后同时停止,设运动时间为t秒.
（1）当t= ▲ 时,点P与点Q相遇；
（2）在点P从B点到点C的运动中,当t为何值时,△PCQ为等腰三角形?
（3）在点Q从点B返回点A的运动过程中,设△PCQ的面积为s平方单位.
①求s与t之间的函数关系式；
②当s最大时,过点P作直线AB交于点D,将△ABC沿直线PD折叠,使点A落在直线PC上,求折叠后的△APD与△PCQ重叠部分的面积
(1) AC = 4
P到C需3秒, 到A需(3 + 4)/2 = 7秒, 到B需(3 + 4 + 5)/1 = 12秒
Q到A需4/2 = 2秒, 到B需(4 + 5)/2 = 9/2秒, 此时P在CA上, 所以B回头
P到A时, Q回头后运行了7 - 9/2 = 5/2秒, 回头后运行了2*5/2 = 5 = BA, 此时Q也恰好在A点,即t = 7
(2)
为方便起见,取坐标系,C为原点,CA为+x方向, CB为+y方向
(a) P在BC上, Q在CA上, 则CP = CQ
CP = BC - PB = 3 - t
CQ = 2t
CP = CQ, 3 - t = 2t, t = 1
(b) P在BC上, Q在AB上(尚未到达B)
t秒时 (0 < t < 3)
BP = t, CP = 3 - t, P(0, 3 - t)
AQ = C-A-Q - CA = 2t - 4
Q的横坐标 = A的横坐标 - AQcos∠BAC = 4 - (2t - 4)*4/5 = (36 - 8t)/5
Q的纵坐标 = AQsin∠BAC = (2t - 4)*3/5
Q((36 - 8t)/5, (2t - 4)*3/5)
(i) CP = CQ
(3 - t)² = [(36 - 8t)/5]² + [(2t - 4)*3/5]²
无解(自己证明)
(ii) PC = PQ
(3 - t)² = [(36 - 8t)/5]² + [(2t - 4)*3/5 - 3 + t]²
无解(自己证明)
(iii) QC = QP, Q在的CP中垂线上
(2t - 4)*3/5 = (0 + 3 - t)/2
t = 39/17
(3)
①
C-A-B = 9, t > 9/2
此时Q在CA上
CP = B-C-P - CB = t - 3
P(t - 3, 0)
BQ = C-A-B-Q - C-A-B = 2t - 9
Q的横坐标 = BQsin∠ABC =(2t - 9)*4/5
Q的纵坐标 = B的纵坐标 - BQcos∠ABC = 3 - (2t - 9)*3/5 = (42 - 6t)/5
s = (1/2)CP*Q的纵坐标
= (1/2)(t - 3)(42 - 6t)/5
= 3(t - 3)(7 - t)/5
②
s = 3(t - 3)(7 - t)/5为与横轴交于(3, 0), (7, 0), 开口向下的抛物线
对称轴为t = (3 + 7)/2 = 5, 此时s最大
P(2, 0), Q(4/5, 12/5)
此时P为CA的中点
将△ABC沿直线PD折叠,使点A落在直线PC上, P可能在C, P间任何一点,题似乎有问题.
P到C需3秒, 到A需(3 + 4)/2 = 7秒, 到B需(3 + 4 + 5)/1 = 12秒
Q到A需4/2 = 2秒, 到B需(4 + 5)/2 = 9/2秒, 此时P在CA上, 所以B回头
P到A时, Q回头后运行了7 - 9/2 = 5/2秒, 回头后运行了2*5/2 = 5 = BA, 此时Q也恰好在A点,即t = 7
(2)
为方便起见,取坐标系,C为原点,CA为+x方向, CB为+y方向
(a) P在BC上, Q在CA上, 则CP = CQ
CP = BC - PB = 3 - t
CQ = 2t
CP = CQ, 3 - t = 2t, t = 1
(b) P在BC上, Q在AB上(尚未到达B)
t秒时 (0 < t < 3)
BP = t, CP = 3 - t, P(0, 3 - t)
AQ = C-A-Q - CA = 2t - 4
Q的横坐标 = A的横坐标 - AQcos∠BAC = 4 - (2t - 4)*4/5 = (36 - 8t)/5
Q的纵坐标 = AQsin∠BAC = (2t - 4)*3/5
Q((36 - 8t)/5, (2t - 4)*3/5)
(i) CP = CQ
(3 - t)² = [(36 - 8t)/5]² + [(2t - 4)*3/5]²
无解(自己证明)
(ii) PC = PQ
(3 - t)² = [(36 - 8t)/5]² + [(2t - 4)*3/5 - 3 + t]²
无解(自己证明)
(iii) QC = QP, Q在的CP中垂线上
(2t - 4)*3/5 = (0 + 3 - t)/2
t = 39/17
(3)
①
C-A-B = 9, t > 9/2
此时Q在CA上
CP = B-C-P - CB = t - 3
P(t - 3, 0)
BQ = C-A-B-Q - C-A-B = 2t - 9
Q的横坐标 = BQsin∠ABC =(2t - 9)*4/5
Q的纵坐标 = B的纵坐标 - BQcos∠ABC = 3 - (2t - 9)*3/5 = (42 - 6t)/5
s = (1/2)CP*Q的纵坐标
= (1/2)(t - 3)(42 - 6t)/5
= 3(t - 3)(7 - t)/5
②
s = 3(t - 3)(7 - t)/5为与横轴交于(3, 0), (7, 0), 开口向下的抛物线
对称轴为t = (3 + 7)/2 = 5, 此时s最大
P(2, 0), Q(4/5, 12/5)
此时P为CA的中点
将△ABC沿直线PD折叠,使点A落在直线PC上, P可能在C, P间任何一点,题似乎有问题.