关于用特征方程法求数列通项

关于用特征方程法求数列通项
我正高二 数学还行 没学竞赛
对微积分和一些难题比较感兴趣
只是想了解：
什么是特征方程
特征方程法能求那些数列的通项
希望说得详细易懂
真的没用吗？
我见到一般的参考书上都是列出了6－7种递推形式，给出特定的求法，都是变相配出等比等差数列
但这些方法不尽繁多，而且难以理解，并且有时还会遇到一些带平方的（非线性？）系数，
有些能求通项有些不能，但最终往往要用An证明不等式....
所以我就蒙了。。。

特征方程是把递推式中的 an+1 an,an-1 这些数列变量项,全都换成X,得到的一元方程,
特征方程的解就是判断数列通项形式的依据.
特征方程法只能求三种递推,常系数一阶线性,常系数二阶性,和常数数分式式递推.其它的类型我还没见过.
至于上述三类的具体式子和处理情形,我就不打字了,楼主百度搜索一下“不动点法求递推”一搜一大堆.
在高考中一般都不会出这种常见的题目,所以在解决递推式的处理上,
一般都是通过f(an,an+1)=0转化变形成一种双层复合形式：
即把递推式变形为以下形式：
g(an+1,n+1)=g(an,n)+d
g(an+1,n+1)=g(an,n)q
g(an+1,n+1)=q g(an,n)+d
.
这样把g(an,n)这一个整体的通项表达式g(an,n)=h(n）写出来,然后再通项解关于an的方程得到an的通项.
上面这种转化,才是真正具有统一通用的递推处理方法.
而对于特征方程法（不动点法）虽然是一个偷懒方法,但它只能解决特定的递推式求通项.对于高考,命题人不是傻子,不会拿平时常见的这种类型出题的.所以不要把不动点法当成总靠山,而是用来开阔思维和视野.
特征方程法不是解决长远递推问题的方法,要学好递推,由其是“非线性”递推,我们必须要学会把数列递推式,整理变形成上述几种每个an项都复合了同一种g()法则的形式.经过我的大量题目的总结,高中无论是高考,还是竟赛,只有简单的数列才能使用那些特殊的解法,而对于那些并不简单的题,用特殊方法解决不了,最后肯定都归到我上述所述的方法上.这个方法我个人把它称为“复合转化法”.
楼主看一下09年的高考数列的那一道题,就是使用的这种解法.
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这个要看楼主是什么目的,如果是为了希望杯,那么很多竞赛基本上都是要考查你的数学配算变形能力,肯定还是转化成上面我说的三种框架形式.这个只要多多练题,熟了也就会了.你现在急,是因为做的太少,变形的经验少.
如果楼主是为了高考,那么建议楼主多看看近几年高考中数列题目的出题规律：有递推,肯定都是简单的变形,最后都是我说的要化成上面三种框架形式,因为数列问题,线性递推都有统一性的规律可言.但是对于非线性递推,各式各样的运算很多,目前据我个人研究,还没有一种统一通用的思想和规律.只能是上面我所说的,变形成三种形式.在高考中,出现递推,不可能会出现很变态的无法用复合转化的非线性的递推式.如果它出了,就是超出考纲了.!
比如我说的09年的高考那道递推题就很简单,一步移项就能变形成f(an+1,n)=f(an,n)+g(n)的形式,然后使用变系数的线性递推方法.而且不得不提的是：这道题第一小问,就是指定性的问题：证明g(an,n)是一个等差数列,这是在间接引路,这就是已经告诉你变形的方法了,只要你心中有复合变形的处理思想,很容易就解出的.（本来这道题可以再难一点,根本不需要第一问,直接就求第二问.但是就算没有第一问,用肉眼一看也一下子就能变形出.）
此外,即便高考试卷的命题人,我想他们也明白：非线性递推只能用数学运算变形,除之之外没有其它的统一规律了.所以那些高考命题人,对非线递推也没有多深的造诣,他们对这块领域有着一种“畏惧”.
对于非常复杂的非性系递推,连那些高考命题人都没有搞清楚,楼主这么其人忧天干什么?
你想想,一个求值域问题,解析式中带有对数,10次方的项,还带有5层根号,总之一个很复杂的函数解析式,求值域.或许世界上有数学尖子能求出来,但是对于现在一个高中生,研究它有什么用呢?有什么意义呢?我们只需掌握能解决普遍问题的普及的方法就行了.也就是说,就比如具体函数,我们从初中到高中,只学习一次,二次,反比,幂,指,对,还有y=x+1/x 和 一元三次函数,除此之外,就再也没有复杂的形式了.即便出现一个复杂函数求值域,也是这个复杂函数要么能变形成为上面基本函数的复合,要么能求导找单调性,他不可能会出现我们所学范围解决不了的难题.
所以数列也和函数一样,即然高中基本数列就一个等比和等差,那么其它数列出题,肯定就是通过复合法,转化为基本递推的形式.这才是命题人的意愿.如果他出的递推式,转化不了的基本数列,那么这种递推就不是高中研究范围的东西了,命题人要敢出这种题目,第一,这种题目,肯定是,连很多特级重点老师和教育界人士都做不出来,或许只有他自己会做.第二,他会被社会骂死,使自己下不了台.
目前我碰到的高中和大学信号与系统中的非线性递推的处理,还没有任一个特例不是用复合转化法解决的.
记住 ：高考中考的正是这一点!考的就是你递推式上的运算变形.楼主,脚踏实地的去接受它吧.它是学习高中递推的唯一正确之路!