正方形ABCD边长为4，M、N分别是BC、CD上的两个动点，当M点在BC上运动时，保持AM和MN垂直，

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/10 23:10:59

（1）证明：Rt△ABM∽Rt△MCN；
（2）设BM=x，梯形ABCN的面积为y，求y与x之间的函数关系式；
（3）梯形ABCN的面积是否可能等于11？为什么？

（1）∵四边形ABCD为正方形，
∴∠B=∠C=∠BAD=∠D=90°，AB=BC=CD=AD，
∴∠BAM+∠AMB=90°，
又∵AM⊥MN，
∴∠AMN=90°，
∴∠AMB+∠NMC=90°，
∴∠BAM=∠NMC，又∠B=∠C，
∴Rt△ABM∽Rt△MCN；
（2）∵BM=x，正方形的边长为4，
∴AB=4，MC=BC-BM=4-x，
又∵Rt△ABM∽Rt△MCN，
∴
AB
MC=
BM
CN，
∴CN=
MC•BM
AB=
x(4−x)
4，
∵NC∥AB，NC≠AB，∠B=90°，
∴四边形ABCN为直角梯形，又ABCN的面积为y，
∴y=
1
2（CN+AB）•BC=
1
2（
x(4−x)
4+4）×4=-
1
2x²+2x+8（0＜x＜4）；
（3）梯形ABCN的面积不可能等于11，理由为：
假设梯形ABCN的面积等于11，
令y=11得：-
1
2x²+2x+8=11，
整理得：x²-4x+6=0，
∵b²-4ac=（-4）²-24=-8＜0，
∴此方程无解，即假设错误，
则梯形ABCN的面积不可能等于11．