你好刘老师,我想向您请教一个线代的问题.

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/15 03:06:37

你好刘老师,我想向您请教一个线代的问题.
如果一个k重的特征向量,它有多个特征向量,那么这些特征向量都线性无关吗?还有我从书上看到,实对称矩阵的一个多重特征值内的特征向量必定正交,这是为什么?书上说因为它们取自同一特征子空间,其均为标准正交基?

你基本结论不清楚
(1) 属于特征值λ的特征向量是齐次线性方程组 (A-λE)x=0 的非零解
这些解都线性无关吗?
如果这个不明白, 就要好好看看齐次线性方程组的解的结构部分了.
我们关注的是属于某个特征值的线性无关的特征向量, 所以考虑对应齐次线性方程组的基础解系!
它们正交吗?
可以把它们正交化吗?
好好看看教材内容,特别是例题要看明白, 之后的问题就不算是问题了
(2) 实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量正交
空间里的基都是标准正交基?
这不对
基可以通过正交化单位化为标准正交基

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