（2014•犍为县一模）如图在Rt△ABC中，∠C=90°，点O在AB上，以O为圆心，OA长为半径的圆与AC、AB，分别

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：综合作业时间：2024/05/14 17:14:50

（2014•犍为县一模）如图在Rt△ABC中，∠C=90°，点O在AB上，以O为圆心，OA长为半径的圆与AC、AB，分别交于点D、E，且∠CBD=∠A；
（1）判断直线BD与⊙O的位置关系，并证明你的结论；
（2）若AD：AO=6：5，BC=2，求BD的长．

（1）直线BD与⊙O相切．（1分）
证明：如图，连接OD．

∵OA=OD
∴∠A=∠ADO
∵∠C=90°，
∴∠CBD+∠CDB=90°
又∵∠CBD=∠A
∴∠ADO+∠CDB=90°
∴∠ODB=90°
∴直线BD与⊙O相切．（2分）

（2）解法一：如图，连接DE．
∵AE是⊙O的直径，∴∠ADE=90°
∵AD：AO=6：5
∴cosA=AD：AE=3：5（3分）
∵∠C=90°，∠CBD=∠A
cos∠CBD=BC：BD=3：5（4分）
∵BC=2，BD=
10
3；
解法二：如图，过点O作OH⊥AD于点H．

∴AH=DH=
1
2AD
∵AD：AO=6：5
∴cosA=AH：AO=3：5（3分）
∵∠C=90°，∠CBD=∠A
∴cos∠CBD=BC：BD=3：5，
∵BC=2，
∴BD=
10
3．