设n阶非零实数矩阵A满足A的伴随矩阵等于A的转置,试证A的行列式等于一,且A为正交矩阵
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/17 06:04:37
设n阶非零实数矩阵A满足A的伴随矩阵等于A的转置,试证A的行列式等于一,且A为正交矩阵
首先,当n > 1,关于伴随矩阵的秩,有如下结果:
若r(A) = n,则r(A*) = n;
若r(A) = n-1,则r(A*) = 1;
若r(A) < n-1,则r(A*) = 0.
证明:当r(A) = n,有A可逆,|A| ≠ 0.
于是由A*A = |A|·E可得A* = |A|·A^(-1)也可逆.
当r(A) = n-1,A有非零的n-1阶子式,故A* ≠ 0,r(A*) ≥ 1.
又A*A = |A|·E = 0,故r(A*)+r(A) ≤ r(A*A)+n = n,即得r(A*) = 1.
当r(A) < n-1,A的n-1阶子式全为0,故A* = 0,r(A*) = n.
回到原题,由条件A* = A'得r(A*) = r(A') = r(A).
当n > 2,根据前述结论,只有r(A) = n,故|A| ≠ 0.
对A*A = |A|·E取行列式得|A*|·|A| = |A|^n.
于是有|A|^2 = |A'|·|A| = |A*|·|A| = |A|^n,解得|A| = 1 (|A|为非零实数).
进而得A'A = A*A = E,即A为正交矩阵.
n = 1,2时是有反例的,例如A = 2E.
再问: 谢谢亲。。。。
若r(A) = n,则r(A*) = n;
若r(A) = n-1,则r(A*) = 1;
若r(A) < n-1,则r(A*) = 0.
证明:当r(A) = n,有A可逆,|A| ≠ 0.
于是由A*A = |A|·E可得A* = |A|·A^(-1)也可逆.
当r(A) = n-1,A有非零的n-1阶子式,故A* ≠ 0,r(A*) ≥ 1.
又A*A = |A|·E = 0,故r(A*)+r(A) ≤ r(A*A)+n = n,即得r(A*) = 1.
当r(A) < n-1,A的n-1阶子式全为0,故A* = 0,r(A*) = n.
回到原题,由条件A* = A'得r(A*) = r(A') = r(A).
当n > 2,根据前述结论,只有r(A) = n,故|A| ≠ 0.
对A*A = |A|·E取行列式得|A*|·|A| = |A|^n.
于是有|A|^2 = |A'|·|A| = |A*|·|A| = |A|^n,解得|A| = 1 (|A|为非零实数).
进而得A'A = A*A = E,即A为正交矩阵.
n = 1,2时是有反例的,例如A = 2E.
再问: 谢谢亲。。。。
设n阶非零实数矩阵A满足A的伴随矩阵等于A的转置,试证A的行列式等于一,且A为正交矩阵
设A是n阶正交矩阵,A的行列式=-1,则A的伴随矩阵的转置是多少?为什么是-A呢?
设A,B都是n阶的正交矩阵,证明A的伴随矩阵A*也是正交矩阵
A的伴随矩阵的伴随矩阵为什么等于A的行列式的n-2次方乘A
设A为正交矩阵,则A的行列式=?
为什么A的伴随矩阵的行列式等于A的行列式的n-1次方
那个A的伴随矩阵行列式为什么等于A的行列式的n-1次方
请问 设A是n阶矩阵 为什么A的伴随矩阵的行列式等于A的行列式的n-1次方
线性代数 设a为n阶实矩阵 且a的转置等于a的逆 a的行列式小于零 求行列式ave.
设n阶矩阵A满足A方等于A,并且A不等于E,证明A的行列式等于0
设A为n阶实对称矩阵,若A的平方等于E,证明A是正交矩阵
已知伴随矩阵求矩阵A的伴随矩阵等于[2 51 3]求矩阵A