3道高等数学题f(x)=x(x-1)(x-2)(x-3)…(x-n) 求f(x)的n+1阶导数.应用lagrange证明

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/22 10:11:43

3道高等数学题
f(x)=x(x-1)(x-2)(x-3)…(x-n) 求f(x)的n+1阶导数.
应用lagrange证明在[-1,1]上 arcsinx+arccosx=0.5π
f和g在[a,b]上可导,且g≠0,证明c∈(a,b) 使得[f(a)-f(c)]/[g(c)-g(b)]=f'(c)/g'(c)

第一题,f中x的最高次数是n+1,因此求f的n+1阶导数就是求x^(n+1)的n+1解导数,答案就是(n+1)!.
第二题,根本不用中值定理,你就令arcsinx=t,则有sint=x,cos(0.5π-t)=x,因此有arccosx=0.5π-t,于是就有arcsinx+arccosx=0.5π.
第三题,考虑函数F(x)=[g(x)-g(b)][f(a)-f(x)],显然有F(a)=F(b)=0,因此由罗尔定理有存在c∈(a,b),使得F'(c)=0,把F'(c)展开就是你要求的式子了

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