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已知三棱锥P-ABC,PA,PB,PC两两垂直,若记△PAB,△PBC,△PCA,△ABC的面积分别为S1,S2,S3,

来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/14 01:16:37
已知三棱锥P-ABC,PA,PB,PC两两垂直,若记△PAB,△PBC,△PCA,△ABC的面积分别为S1,S2,S3,S,

求证:S^2=(S1)^2+(S2)^2+(S3)^2


(S1)^2+(S2)^2+(S3)^2
=(PA*PB/2)^2+(PB*PC/2)^2+(PC*PA/2)^2
=(PA^2*PB^2+PB^2*PC^2+PC^2*PA^2)/4
=[PA^2*(PB^2+PC^2)+PB^2*PC^2]/4
=[PA^2*BC^2+PD^2*BC^2]/4
=[(PA^2+PD^2)*BC^2]/4
=(AD^2*BC^2)/4
=[(AD*BC)/2]^2
=S^2