如图,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD是矩形,PA=AD,M、N分别是AB、PC的中点,
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/13 17:00:20
如图,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD是矩形,PA=AD,M、N分别是AB、PC的中点,
(1)求平面PCD与平面ABCD所成锐二面角的大小;
(2)求证:平面MND⊥平面PCD.
(1)求平面PCD与平面ABCD所成锐二面角的大小;
(2)求证:平面MND⊥平面PCD.
(1)∵PA⊥平面ABCD,CD⊂PA⊥平面ABCD,
∴PA⊥CD,
又∵四边形ABCD是矩形,
∴AD⊥CD
又∵AD∩PA=A
∴CD⊥平面PAD,
又∵PD⊂平面PAD,
∴CD⊥PD
故∠PDA即为平面PCD与平面ABCD所成锐二面角的平面角,
又∵在直角三角形PAD中,PA=AD
∴∠PDA=45°
即平面PCD与平面ABCD所成锐二面角为45°
(2)证明:取PD的中点E,连接AE,EN,如下图所示
则EN∥CD∥AM,且EN=
1
2CD=AM
∴四边形AMNE为平行四边形,故AE∥MN…①
由(I)中CD⊥平面PAD,得AE⊥CD
又∵三角形PAD为等腰直角三角形,
∴AE⊥PD
∵PD∩CD=D
∴AE⊥平面PCD
由①得:MN⊥平面PCD
又∵MN⊂平面MND
∴平面MND⊥平面PCD.
∴PA⊥CD,
又∵四边形ABCD是矩形,
∴AD⊥CD
又∵AD∩PA=A
∴CD⊥平面PAD,
又∵PD⊂平面PAD,
∴CD⊥PD
故∠PDA即为平面PCD与平面ABCD所成锐二面角的平面角,
又∵在直角三角形PAD中,PA=AD
∴∠PDA=45°
即平面PCD与平面ABCD所成锐二面角为45°
(2)证明:取PD的中点E,连接AE,EN,如下图所示
则EN∥CD∥AM,且EN=
1
2CD=AM
∴四边形AMNE为平行四边形,故AE∥MN…①
由(I)中CD⊥平面PAD,得AE⊥CD
又∵三角形PAD为等腰直角三角形,
∴AE⊥PD
∵PD∩CD=D
∴AE⊥平面PCD
由①得:MN⊥平面PCD
又∵MN⊂平面MND
∴平面MND⊥平面PCD.
如图,PA⊥平面ABCD,四边形ABCD是矩形,PA=AD,M、N分别是AB、PC的中点,
如图,PA⊥矩形ABCD所在的平面,PA=AD,M,N分别是AB,PC的中点.
已知PA垂直平面ABCD.四边形ABCD是矩形.PA=AD,M,N分别是AB,PC的中点,
如图,已知四边形ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,M,N分别是AB,PC的中点.
如图,已知四边形ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,M,N分别是AB,PC的中点
如图,PA⊥矩形ABCD所在平面M,N分别是AB,PC的中点,PA=AD.求证平面AND⊥平面PDC
已知PA⊥平面ABCD,四边形ABCD为矩形,PA=AD,M、N分别是AB、PC的中点,求证:
PA垂直于底面ABCD,四边形ABCD是矩形,PA=AD,M、N分别是AB、PC的中点,求证平面DMN垂直于平面PCD?
如图,PA垂直ABCD所在的平面,M,N分别是边AB,PC的中点,PA=AD
如图所示,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,M、N分别是AB、PC的中点,PA=AD=a.
如图所示,四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,M、N分别是AB、PC的中点,PA=AD=a
已知PA⊥平面ABCD,且四边形ABCD为矩形,M、N分别是AB、PC的中点.