作业帮复合函数求导题看不懂,200分求教!
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/16 09:54:45
复合函数求导题看不懂,200分求教!
主要是倒数第二行看不懂
现在我还是不明白的就是
为什么f(x,f(x,x))对f(x,x)的偏导数和f(x,x)对x的偏导数都可以表示成同一个符号f'2？
还有为什么f'2是f对y的偏导数？
根据什么定理或定义或怎么推导出来，
分数加到最高
f(1,1)只是代表一个点，两个f'(1，1)2分别表示在这个点处对y的偏导数，在这个点处虽然f(x,x)=x,但f(x,x)和x对y轴方向的斜率不一定相同吧，那么偏导数也不同，这么说两个f'(1，1)2还是意义不同，不知我思路错在哪里
主要是倒数第二行看不懂
现在我还是不明白的就是
为什么f(x,f(x,x))对f(x,x)的偏导数和f(x,x)对x的偏导数都可以表示成同一个符号f'2？
还有为什么f'2是f对y的偏导数？
根据什么定理或定义或怎么推导出来，
分数加到最高
f(1,1)只是代表一个点，两个f'(1，1)2分别表示在这个点处对y的偏导数，在这个点处虽然f(x,x)=x,但f(x,x)和x对y轴方向的斜率不一定相同吧，那么偏导数也不同，这么说两个f'(1，1)2还是意义不同，不知我思路错在哪里
我建议将偏导数定义,和全微分概念搞透,其它就迎刃而解,偏导数就是对函数的某一变量求导而将其它变量看作常量,全微分是对所有变量微分.因此本题复合函数求导就容易理解了
,对φ(x)=f(x,f(x,x))全微分 :
∵dφ(x)=df(x,f(x,x))=f1'×dx+f2'×df(x,x)
df(x,x)=f1'×dx+f2'×dx
∴dφ(x)=f1'×dx+f2'×(f1'×dx+f2'×dx)
左右二边除以dx ,可得:φ'(x)=dφ(x)/dx=f1'+f2'×(f1'+f2')
因此所谓复合函数求导,通过以上全微分求导就容易理解了.这才原汁原味!
为什么不看书,
∵⊿φ(x)=φ(x+⊿x)-φ(x),
⊿f(x,f(x,x))= f(x+⊿x,f(x+⊿x,x+⊿x))-f(x,f(x,x))
f1'=∂f(x,y)/∂x 这里y为常量令y=c,即求导过程中不变,
只要记住属于第几变量即可.同理 f2' 就是对第二个变量求偏导数
至于这个变量用什么符合尽可不管.
f(x,y)某 单一变量的增量:
⊿f(x,y)=f(x+⊿x,y)-f(x,y) ,(y不变),
⊿f(x,y+⊿y)=f(x+⊿x,y +⊿y)-f(x,y+⊿y) ,( y+⊿y 保持不变)
前者在(x,y)点对x变量求偏导数,后者在(x,y+⊿y)点对x变量求偏导数,
当⊿x→0时 ∂f(x,y)/∂x=⊿f(x,y)/⊿x
∂f(x,y+⊿y)/∂x=⊿f(x,y+⊿y)/⊿x
当⊿x →0,⊿y→0时∂f(x,y)/∂x=∂f(x,y+⊿y)/∂x= f1'
注意:
∂f(x,y)/∂x ≠ ∂f(x,y+⊿y)/∂x (y≠y+⊿y,只有⊿y→0,y+⊿y→y,才成立.
这表示从(x+⊿x,y)点 沿 y为常量,平行x轴方向趋近(x,y)点
(x+⊿x,y+⊿y)点,沿以 y+⊿y为常量,平行x轴方向趋近(x,y+⊿y)点.
当⊿x→0,同时⊿y→0时(x+⊿x,y+⊿y)点可正交分解为沿平行x,y轴趋近(x,y)点
∴⊿f=f(x+⊿x,y +⊿y)-f(x,y)
= f(x+⊿x,y +⊿y)-f(x,y+⊿y) +f(x,y+⊿y)-f(x,y)
={[ f(x+⊿x,y +⊿y)-f(x,y+⊿y)]/⊿x}×⊿x+{[f(x,y+⊿y)-f(x,y)]/⊿y}/⊿y
= f1'⊿x +f2'⊿y ( ⊿x →0,⊿y→0,f1' ,f2' 对应(x,y)点取偏导)
因此 全微分概念这才能帮助理解透彻!
,对φ(x)=f(x,f(x,x))全微分 :
∵dφ(x)=df(x,f(x,x))=f1'×dx+f2'×df(x,x)
df(x,x)=f1'×dx+f2'×dx
∴dφ(x)=f1'×dx+f2'×(f1'×dx+f2'×dx)
左右二边除以dx ,可得:φ'(x)=dφ(x)/dx=f1'+f2'×(f1'+f2')
因此所谓复合函数求导,通过以上全微分求导就容易理解了.这才原汁原味!
为什么不看书,
∵⊿φ(x)=φ(x+⊿x)-φ(x),
⊿f(x,f(x,x))= f(x+⊿x,f(x+⊿x,x+⊿x))-f(x,f(x,x))
f1'=∂f(x,y)/∂x 这里y为常量令y=c,即求导过程中不变,
只要记住属于第几变量即可.同理 f2' 就是对第二个变量求偏导数
至于这个变量用什么符合尽可不管.
f(x,y)某 单一变量的增量:
⊿f(x,y)=f(x+⊿x,y)-f(x,y) ,(y不变),
⊿f(x,y+⊿y)=f(x+⊿x,y +⊿y)-f(x,y+⊿y) ,( y+⊿y 保持不变)
前者在(x,y)点对x变量求偏导数,后者在(x,y+⊿y)点对x变量求偏导数,
当⊿x→0时 ∂f(x,y)/∂x=⊿f(x,y)/⊿x
∂f(x,y+⊿y)/∂x=⊿f(x,y+⊿y)/⊿x
当⊿x →0,⊿y→0时∂f(x,y)/∂x=∂f(x,y+⊿y)/∂x= f1'
注意:
∂f(x,y)/∂x ≠ ∂f(x,y+⊿y)/∂x (y≠y+⊿y,只有⊿y→0,y+⊿y→y,才成立.
这表示从(x+⊿x,y)点 沿 y为常量,平行x轴方向趋近(x,y)点
(x+⊿x,y+⊿y)点,沿以 y+⊿y为常量,平行x轴方向趋近(x,y+⊿y)点.
当⊿x→0,同时⊿y→0时(x+⊿x,y+⊿y)点可正交分解为沿平行x,y轴趋近(x,y)点
∴⊿f=f(x+⊿x,y +⊿y)-f(x,y)
= f(x+⊿x,y +⊿y)-f(x,y+⊿y) +f(x,y+⊿y)-f(x,y)
={[ f(x+⊿x,y +⊿y)-f(x,y+⊿y)]/⊿x}×⊿x+{[f(x,y+⊿y)-f(x,y)]/⊿y}/⊿y
= f1'⊿x +f2'⊿y ( ⊿x →0,⊿y→0,f1' ,f2' 对应(x,y)点取偏导)
因此 全微分概念这才能帮助理解透彻!