作业帮已知椭圆C:x²/a²+y²/b²=1的离心率为√6/3,其左右焦点为F1F2,
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/09 18:06:09
已知椭圆C:x²/a²+y²/b²=1的离心率为√6/3,其左右焦点为F1F2,
点P是坐标平面内一点,|OP|=√10/2向量PF1·PF2=1/2.直线y=x与椭圆C在第一象限交于A点,若椭圆C上两点M,N使向量OM+ON=kOA,k∈(0,2),求ΔOMN面积的最大值
点P是坐标平面内一点,|OP|=√10/2向量PF1·PF2=1/2.直线y=x与椭圆C在第一象限交于A点,若椭圆C上两点M,N使向量OM+ON=kOA,k∈(0,2),求ΔOMN面积的最大值
设P(x,y)
因为 |OP|=√10/2
所以x^2+y^2=10/4=5/2……(1)
设F1(-c,0),F2(c,0)
PF1=(-c-x,-y)
PF2=(c-x,y)
PF1·PF2=x^2+y^2-c^2=1/2……(2)
(1)-(2)得 c^2=2
所以 a=√3,b=1
所以 C:x^2/3+y^2=1……(3)
将y=x与(3)联立,解得A(√3/2,√3/2)
设M(x1,y1),N(x2,y2)
OM=(x1,y1)
ON=(x2,y2)
OM+ON=(x1+x2,y1+y2)=((√3/2)k,(√3/2)k)……(＊)
SΔOMN=0.5|OM||ON|sin
而cos=OM·ON/(|OM||ON|)
所以 sin=|x1y2-x2y1|/(|OM||ON|)
所以 SΔOMN=0.5|x1y2-x2y1|……(4)
只需求其中 (x1y2-x2y1)^2=[x1^2y2^2+x2^2y1^2]-2x1x2y1y2……(5)的最大值即可
因为 M,N在椭圆C上
所以 x1^2/3+y1^2=1……(6)
x2^2/3+y2^2=1…………(7)
(5)×(6)得：(x1x2)^2/3+3(y1y2)^2+[x1^2y2^2+x2^2y1^2]=3……(8)
用(8)中的中括号部分替换掉(5)中的中括号部分,得：
(x1y2-x2y1)^2=3-3(x1x2/3+y1y2)^2……(9)
(6)+(7)得：[(x1+x2)^2-2x1x2]/3+[(y1+y2)^2-2y1y2]=2……(10)
根据(＊)中x1+x2=y1+y2=(√3/2)k
换掉(10)中的(x1+x2),(y1+y2)
得：(k^2-2)/2=x1x2/3+y1y2……(11)
用(11)的右端换掉(9)中的相同部分,得：
(x1y2-x2y1)^2=3-(3/4)(k^2-2)^2……(12),k∈(0,2)
所以(x1y2-x2y1)^2的最大值是3,当且仅当k=√2时
所以ΔOMN面积的最大值是√3/2
因为 |OP|=√10/2
所以x^2+y^2=10/4=5/2……(1)
设F1(-c,0),F2(c,0)
PF1=(-c-x,-y)
PF2=(c-x,y)
PF1·PF2=x^2+y^2-c^2=1/2……(2)
(1)-(2)得 c^2=2
所以 a=√3,b=1
所以 C:x^2/3+y^2=1……(3)
将y=x与(3)联立,解得A(√3/2,√3/2)
设M(x1,y1),N(x2,y2)
OM=(x1,y1)
ON=(x2,y2)
OM+ON=(x1+x2,y1+y2)=((√3/2)k,(√3/2)k)……(＊)
SΔOMN=0.5|OM||ON|sin
而cos=OM·ON/(|OM||ON|)
所以 sin=|x1y2-x2y1|/(|OM||ON|)
所以 SΔOMN=0.5|x1y2-x2y1|……(4)
只需求其中 (x1y2-x2y1)^2=[x1^2y2^2+x2^2y1^2]-2x1x2y1y2……(5)的最大值即可
因为 M,N在椭圆C上
所以 x1^2/3+y1^2=1……(6)
x2^2/3+y2^2=1…………(7)
(5)×(6)得：(x1x2)^2/3+3(y1y2)^2+[x1^2y2^2+x2^2y1^2]=3……(8)
用(8)中的中括号部分替换掉(5)中的中括号部分,得：
(x1y2-x2y1)^2=3-3(x1x2/3+y1y2)^2……(9)
(6)+(7)得：[(x1+x2)^2-2x1x2]/3+[(y1+y2)^2-2y1y2]=2……(10)
根据(＊)中x1+x2=y1+y2=(√3/2)k
换掉(10)中的(x1+x2),(y1+y2)
得：(k^2-2)/2=x1x2/3+y1y2……(11)
用(11)的右端换掉(9)中的相同部分,得：
(x1y2-x2y1)^2=3-(3/4)(k^2-2)^2……(12),k∈(0,2)
所以(x1y2-x2y1)^2的最大值是3,当且仅当k=√2时
所以ΔOMN面积的最大值是√3/2
已知椭圆C:x²/a²+y²/b²=1的离心率为√6/3,其左右焦点为F1F2,
已知椭圆C：x²/a²+y²/b²=1的离心率e=2分之根号2左右焦点分别为F1
已知焦点在x轴上的椭圆C为x^2/8+y^2/b^2=1,F1F2分别是椭圆C的左右焦点,离心率e=(根号下2)/2 求
已知椭圆C的左右焦点为F1F2,离心率为e,直线l:y=ex+a与x轴y轴分别交与点A,B
已知椭圆a²/x²+b²/y²=1(a>b>0)离心率为1 F1 F2为左右焦点
已知椭圆C离心率为1/2,椭圆上的点到焦点的最近距离为根号3,左右焦点为F1F2抛物线Y^2=2PX的焦点与F2重合求椭
已知椭圆C:x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)的左右焦点F1,F2.离心率
已知离心率为√2/2的椭圆x²/a²+y²/b²=1(a>b>0)的右焦点F
已知椭圆x²/a²+y²/b²=1（a>b>0)的右焦点为F2（3,0）,离心率
已知椭圆C:x²/a²+y²/b²=1(a>0,b>0)的离心率为(√6)/3,
已知椭圆x^2/4+y^2/3=1的左右焦点分别为F1F2,一条直线L经过F1与椭圆交于A,B两点.
高中数学题,急已知椭圆x²／4+y²／b²=1（0＜b＜2）,左右焦点分别为f1f2,过f