作业帮南开大学高等代数一道考研题
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/18 19:45:33
南开大学高等代数一道考研题
设V是由n维实向量在标准度量下构成的欧氏空间,α是V中的一个单位向量,证明必存在一个n阶实对称正交矩阵A使得α为A的第一列.
设V是由n维实向量在标准度量下构成的欧氏空间,α是V中的一个单位向量,证明必存在一个n阶实对称正交矩阵A使得α为A的第一列.
将α扩充为V的一组标准正交基,再以这些基向量按照列构成的矩阵为A即可
再问： 我该怎么说明他是对称的呢
再答： 显然没有对称的条件。仅仅是正交。
一个矩阵如果既是正交又是对称,显然只能是单位阵E。
再问： 大神你再想想。这题我做过，忘了，，不一定是e丫，如镜面反射那个矩阵，第二类的
再答： 晕！！！！
设A是对称正交矩阵,那么A^2=E.而实对称矩阵特征值为实数,因此A的特征值都是1,所以A正交相似于单位阵，所以A=E.
再问： 哦，要指出下矩阵1，0;0,-1也是正交的
再答： 看来是我二了，特征值可以是-1。我给你做做
再问： 嗯谢谢，，，
再答： 可以这样,如果α已经是e1,那么结论显然.
否则可以先让e1沿着α做镜面反射,得到向量β,这时取A为沿着向量β的镜面反射即可,A的第一行恰好是α
再问： 大神可以给张图吗，，
再答：
再问： 谢谢，知道了，，，^_^
再问： 大神，那时有点迷糊了，我该怎么说明它是得到这个矩阵是对称呢
再问： 刚刚看到一个的题没要求对称，发现对称没说明
再答： A=E-2bb',b是作为反射向量的那个向量
再问： 嗯我再试试
再问： 我该怎么说明他是对称的呢
再答： 显然没有对称的条件。仅仅是正交。
一个矩阵如果既是正交又是对称,显然只能是单位阵E。
再问： 大神你再想想。这题我做过，忘了，，不一定是e丫，如镜面反射那个矩阵，第二类的
再答： 晕！！！！
设A是对称正交矩阵,那么A^2=E.而实对称矩阵特征值为实数,因此A的特征值都是1,所以A正交相似于单位阵，所以A=E.
再问： 哦，要指出下矩阵1，0;0,-1也是正交的
再答： 看来是我二了，特征值可以是-1。我给你做做
再问： 嗯谢谢，，，
再答： 可以这样,如果α已经是e1,那么结论显然.
否则可以先让e1沿着α做镜面反射,得到向量β,这时取A为沿着向量β的镜面反射即可,A的第一行恰好是α
再问： 大神可以给张图吗，，
再答：
再问： 谢谢，知道了，，，^_^
再问： 大神，那时有点迷糊了，我该怎么说明它是得到这个矩阵是对称呢
再问： 刚刚看到一个的题没要求对称，发现对称没说明
再答： A=E-2bb',b是作为反射向量的那个向量
再问： 嗯我再试试