一道高等代数证明题这是中国人民大学1991年的高等代数证明题,

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/15 15:26:08

一道高等代数证明题
这是中国人民大学1991年的高等代数证明题,

左端 =
1 1 1 ...1
0 1+x[1] 1+x[1]² ...1+x[1]ⁿ
0 1+x[2] 1+x[2]² ...1+x[2]ⁿ
...............
0 1+x[n] 1+x[n]² ...1+x[n]ⁿ
=
1 1 1 ...1
-1 x[1] x[1]² ...x[1]ⁿ
-1 x[2] x[2]² ...x[2]ⁿ
...............
-1 x[n] x[n]² ...x[n]ⁿ
=
2 1 1 ...1
0 x[1] x[1]² ...x[1]ⁿ
0 x[2] x[2]² ...x[2]ⁿ
...............
0 x[n] x[n]² ...x[n]ⁿ
+
-1 1 1 ...1
-1 x[1] x[1]² ...x[1]ⁿ
-1 x[2] x[2]² ...x[2]ⁿ
...............
-1 x[n] x[n]² ...x[n]ⁿ
=
2·
x[1] x[1]² ...x[1]ⁿ
x[2] x[2]² ...x[2]ⁿ
............
x[n] x[n]² ...x[n]ⁿ
-
1 1 1 ...1
1 x[1] x[1]² ...x[1]ⁿ
1 x[2] x[2]² ...x[2]ⁿ
...............
1 x[n] x[n]² ...x[n]ⁿ
=
2·x[1]·x[2]·...·x[n]·
1 x[1] ...x[1]ⁿ⁻¹
1 x[2] ...x[2]ⁿ⁻¹
............
1 x[n] ...x[n]ⁿ⁻¹
-
1 1 1 ...1
1 x[1] x[1]² ...x[1]ⁿ
1 x[2] x[2]² ...x[2]ⁿ
...............
1 x[n] x[n]² ...x[n]ⁿ
= 2∏{1 ≤ i ≤ n} x[i] · ∏{1 ≤ j < k ≤ n} (x[k]-x[j]) - ∏{1 ≤ i ≤ n} (x[i]-1) · ∏{1 ≤ j < k ≤ n} (x[k]-x[j])
= ∏{1 ≤ j < k ≤ n} (x[k]-x[j]) · (2∏{1 ≤ i ≤ n} x[i] - ∏{1 ≤ i ≤ n} (x[i]-1))
= 右端.
其中倒数第三个等号使用了Vandermonde行列式的乘积展开式.

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