设a，b，c分别为△ABC的三内角A，B，C的对边．求证：方程x2+2ax+b2=0与x2+2cx-b2=0有公共根的充

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/16 00:38:12

设a，b，c分别为△ABC的三内角A，B，C的对边．求证：方程x²+2ax+b²=0与x²+2cx-b²=0有公共根的充要条件是∠A=90°．

证明：充分性：当A=90°时，a²=b²+c²．…（2分）
于是x²+2ax+b²=0⇔x²+2ax+a²-c²=0⇔[x+（a+c）][x+（a-c）]=0，
该方程有两根x₁=-（a+c），x₂=-（a-c）．…（5分）
同样，x²+2cx-b²=0⇔[x+（c+a）][x+（c-a）]=0，
该方程亦有两根x₃=-（c+a），x₄=-（c-a）．…（7分）
显然x₁=x₃，两方程有公共根．…（8分）
必要性：设方程x²+2ax+b²=0与x²+2cx-b²=0的公共根为m，…（9分）
则

m2+2am+b2＝0 (1)
m2+2cm−b2＝0 (2)…（11分）
（1）+（2）得m=-（a+c）．（m=0舍去）．…（13分）
将m=-（a+c）代入（1）式，得[-（a+c）]²+2a•[-（a+c）]+b²=0，
整理得a²=b²+c²．…（15分）
所以A=90°．
故结论成立．…（16分）

设a，b，c分别为△ABC的三内角A，B，C的对边．求证：方程x2+2ax+b2=0与x2+2cx-b2=0有公共根的充 1、设a,b,c为三角形ABC的三边,求证,方程x2+2ax+b2=0与x2+2cx-b2=0有公共根的充要条件是角A 设a，b，c为△ABC的三边，且二次三项式x2+2ax+b2与x2+2cx-b2有一个公因式，证明：△ABC一定是直角三已知abc均为正数,且x2+2ax+b2=0与x2+2cx-b2=0有一个相同的根,证a.b,c为三边的三角形是直角三角设a,b,c为△ABC的三边,求方程 x^2 +2ax +b^2 =0与 x^2 +2cx - b^2 =0有公共根的充设a,b,c为三角形ABC的三边,求证：x^2+2cx-b^2=0与x^2+2ax+b^2=0有公共根的充要条件是角A= 已知关于x的两个方程x2+2bx+a=0与x2+ax+2b有且仅有一个公共根,则a2+b2的最小值为已知a,b,c是三角形ABC的三边,且关于x的方程(a2+b2)x2-2cx+1=0有两个相等的实数根,请判断三角形AB 设a,b,c为三角形ABC的三边,求方程x^2+2ax+b^2=0与x^2+2cx-b^2=0有公共根的充要条件并给出证设三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c已知b2+c2=a2+根号3bc.求∠A 在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知b2=ac，a+c=3，cosB=34 设a,b,c是三角形ABC的三边长,求证x+2ax+b=0与x+2cx -b=0有公共根的充要条件是角A=90°