高等代数,线性代数 矩阵A(n×n)的秩为1.那么他的特征值等于什么? 主要是想求证明:特征值的和=矩阵的迹
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:综合作业 时间:2024/05/21 08:01:50
高等代数,线性代数 矩阵A(n×n)的秩为1.那么他的特征值等于什么? 主要是想求证明:特征值的和=矩阵的迹
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分析:
因为A的秩等于1, 所以A的行向量中有一行非零(记为α, 不妨记为列向量)
且其余行都是它的倍数. 将这些倍数构成列向量β, β≠0
则有 A=βα^T.
如: A =
2 4 6
1 2 3
0 0 0
则 α=(1,2,3)^T, β=(2,1,0)^T, A=βα^T.
注意到 α^Tβ 是两个向量的内积,是一个数 (上例中等于 4)
所以有 Aβ = (βα^T)β = (α^Tβ)β
所以α^Tβ是A的一个特征值, β是A的属于这个特征值的特征向量.
再由r(A)=1知, 齐次线性方程组 AX=0 的基础解系含 n-r(A)=n-1 个解向量
综上知 0 是A的 n-1 重特征值.
tr(A)=α^Tβ+0+0+...+0=α^Tβ.
如上例中有 tr(A)=4=α^Tβ.
因为A的秩等于1, 所以A的行向量中有一行非零(记为α, 不妨记为列向量)
且其余行都是它的倍数. 将这些倍数构成列向量β, β≠0
则有 A=βα^T.
如: A =
2 4 6
1 2 3
0 0 0
则 α=(1,2,3)^T, β=(2,1,0)^T, A=βα^T.
注意到 α^Tβ 是两个向量的内积,是一个数 (上例中等于 4)
所以有 Aβ = (βα^T)β = (α^Tβ)β
所以α^Tβ是A的一个特征值, β是A的属于这个特征值的特征向量.
再由r(A)=1知, 齐次线性方程组 AX=0 的基础解系含 n-r(A)=n-1 个解向量
综上知 0 是A的 n-1 重特征值.
tr(A)=α^Tβ+0+0+...+0=α^Tβ.
如上例中有 tr(A)=4=α^Tβ.
高等代数,线性代数 矩阵A(n×n)的秩为1.那么他的特征值等于什么? 主要是想求证明:特征值的和=矩阵的迹
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