A为3x3矩阵,而且0≠A^3=A^2≠A,1).求证A 不可对角化 2.)0是A的特征值 3).1是A的特征值

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/22 11:55:50

A为3x3矩阵,而且0≠A^3=A^2≠A,1).求证A 不可对角化 2.)0是A的特征值 3).1是A的特征值
A为3x3矩阵,而且0≠A^3=A^2≠A,1).求证A 不可对角化
2.)0是A的特征值
3).1是A的特征值
4).举出一个A的例子,该例子需满足条件A^3=A^2≠A
5).求证任何2X2矩阵都不满足条件A^3=A^2≠A

/>假设A可对角化,不妨设P-1AP=diag(a,b,c).（1）（对角线上是a,b,c的对角矩阵）P可逆
（1）式两边平方：P-1A^2P=diag（a^2,b^2,c^2).（2）
（1）式两边三次方：P-1A^3P=diag（a^3,b^3,c^3).（3）
由（2）（3）式及A^2=A^3,所以a^2=a^3,b^2=b^3,c^2=c^3
所以a,b,c属于集合｛0,1｝,所以a=a^2=a^3...
此时有diag(a,b,c)=diag（a^2,b^2,c^2)=diag（a^3,b^3,c^3),又A=P diag（a,b,c) P-1
A^2=P diag(a^2,b^2,c^2) P-1 则A=A^2矛盾!
所以A不可对角化

即证存在向量α使得Aα=0 即证A不可逆
反证法：假设A可逆,存在A的逆A -1,那么在式子A^3=A^2中左乘A-1得到：A^2=A,矛盾

即证A-I不可逆（I是单位矩阵）
同样反证法：假设A-I可逆,设其逆矩阵为(A-I)-1
那么由A^3-A^2=0,所以A^2(A-I)=0
上式两边同时右乘(A-I) -1：A^2=0
与题目条件0不等于A^3=A^2矛盾

例子：
010
000
001

题目应该是求证任何2X2矩阵都不满足条件0≠A^3=A^2≠A吧不然
01
00就是反例了
下面证明任何2X2矩阵都不满足条件0≠A^3=A^2≠A
反证法：假设存在2X2矩阵都满足条件0≠A^3=A^2≠A,同理：该矩阵不可对角化、0和1为特征值
上面两句话本身是矛盾的因为0和1是两个不同的特征值,这导致2X2矩阵可以被对角化
所以得

再问：能麻烦你解释一下第五问里头为什么1,0是两个不同的特征值 2x2矩阵就能被对角化吗?
再答：这个是一个矩阵能对角化的充分条件就是说，一个矩阵的所有特征值都不等的时候它就可以对角化。比如我说的那个，设A是2*2矩阵，α是1对应的特征向量，β是0对应的特征向量（α和β不等于0）那么就有Aα=α，Aβ=0 即有A(α，β）=（α，β）D，这里D=: 1 0 0 0 那么α和β显然线性无关，不然如果线性相关设α=kβ，那么Aα=A(kβ）=kAβ=k*0=0不等于α 所以矩阵（α，β）可逆，设为P 则AP=PD 所以P-1AP=D

A为3x3矩阵,而且0≠A^3=A^2≠A,1).求证A 不可对角化 2.)0是A的特征值 3).1是A的特征值矩阵与变换1.设λ是矩阵A的一个特征值,求证：λ2是A2的一个特征值若A2=A,求证：A的特征值是0或1 已知3阶矩阵A的特征值为1、2、-3,则它的逆矩阵的特征值是? 设A为3阶矩阵,2是A的一个2重特征值,-1为它的另一个特征值,则|A|=?求计算过程, 设A为3阶矩阵,2是A的一个2重特征值,-1为它的另一个特征值,则|A|=? λ=2是可逆矩阵A的一个特征值,则A-2A^-1的特征值为 A是矩阵,若A^2=A,则A的特征值只能为1和0 已知三阶矩阵A的特征值为-1,1,2,则 B=A^3-2A^2的特征值是?|B|=? 三阶方阵A的特征值是1,2,-3,A*是A的伴随矩阵,则|A*+E|= 设三阶矩阵A的三个特征值为-1,3,5,则A-3E的特征值? 已知n阶矩阵A满足A2-3A+2I=0,其中I是n阶单位矩阵,且A的特征值全为1,求证A=I 设A是非零的幂零矩阵,即A不是零矩阵且存在自然数m使得A^m=0证明:A的特征值全为零且A不可对角化