作业帮数学不等式证明题!求证：（1）当0≤x＜＋∞时,有arctanx≤x; （2）当x>0时,ln
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/13 19:34:24
数学不等式证明题!求证：（1）当0≤x＜＋∞时,有arctanx≤x; （2）当x>0时,ln
数学不等式证明题!
求证：
（1）当0≤x＜＋∞时,有arctanx≤x;
（2）当x>0时,ln(1+x)>x／(1+x）.
数学不等式证明题!
求证：
（1）当0≤x＜＋∞时,有arctanx≤x;
（2）当x>0时,ln(1+x)>x／(1+x）.
(1)
显然,x＝0时,原不等式取等号.
当x>0时,构造函数f(t)＝t-arctant,
则f'(t)＝1-1/(1+t^2)＝t^2/(1+t^2)>0.
∴f(t)为单调递增函数,即x>0时,
∴f(x)>f(0)＝0-arctan0＝0
即x-arctanx>0,
∴arctanx0时,构造函数f(t)＝ln(1+t)-t/(1+t),
则f'(t)＝1/(1+t)-(1+t-t)/(1+t)^2＝t/(1+t)^2>0.
∴f(t)在t>0时单调递增,
即x>0时,f(x)>f(0)＝ln(1+0)-0/(1+0)＝0.
∴ln(1+x)-x/(1+x)>0
从而,x>0时,有ln(1+x)>x/(1+x).
再问： 谢谢啊👍👍👍还有构造函数来着！我才想起来☺！真的是太感谢了😊！
显然,x＝0时,原不等式取等号.
当x>0时,构造函数f(t)＝t-arctant,
则f'(t)＝1-1/(1+t^2)＝t^2/(1+t^2)>0.
∴f(t)为单调递增函数,即x>0时,
∴f(x)>f(0)＝0-arctan0＝0
即x-arctanx>0,
∴arctanx0时,构造函数f(t)＝ln(1+t)-t/(1+t),
则f'(t)＝1/(1+t)-(1+t-t)/(1+t)^2＝t/(1+t)^2>0.
∴f(t)在t>0时单调递增,
即x>0时,f(x)>f(0)＝ln(1+0)-0/(1+0)＝0.
∴ln(1+x)-x/(1+x)>0
从而,x>0时,有ln(1+x)>x/(1+x).
再问： 谢谢啊👍👍👍还有构造函数来着！我才想起来☺！真的是太感谢了😊！
数学不等式证明题!求证：（1）当0≤x＜＋∞时,有arctanx≤x; （2）当x>0时,ln
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当x>0时,证明：arctanx+1/x>π/2,
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