作业帮一道大学线性代数题求详解
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/22 11:48:27
一道大学线性代数题求详解
设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3,向量α1=[-1,2,-1]T和α2=[0,-1,1]T是齐次线性方程组AX=0的两个解.
（1）求A的特征值和特征向量；
（2）求一个正交矩阵Q和对角矩阵D,使QTAQ=D
设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3,向量α1=[-1,2,-1]T和α2=[0,-1,1]T是齐次线性方程组AX=0的两个解.
（1）求A的特征值和特征向量；
（2）求一个正交矩阵Q和对角矩阵D,使QTAQ=D
(1) 3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3,故A有特征值3,对应的特征向量为a3=(1,1,1)T,
又向量α1=[-1,2,-1]T和α2=[0,-1,1]T是齐次线性方程组AX=0的两个解.
所以A有特征值0,对应的特征向量为,α1=[-1,2,-1]T和α2=[0,-1,1]T
(2)因为a1,a2,a3线性无关,故A可以对角化,将a1,a2,正交化,单位化,将a3单位化,
设得到的向量分别为b1,b2,b3,
令Q=(b1,b2,b3),则Q就是要求的正交矩阵,且
QTAQ=D=diag(0,0,3)
又向量α1=[-1,2,-1]T和α2=[0,-1,1]T是齐次线性方程组AX=0的两个解.
所以A有特征值0,对应的特征向量为,α1=[-1,2,-1]T和α2=[0,-1,1]T
(2)因为a1,a2,a3线性无关,故A可以对角化,将a1,a2,正交化,单位化,将a3单位化,
设得到的向量分别为b1,b2,b3,
令Q=(b1,b2,b3),则Q就是要求的正交矩阵,且
QTAQ=D=diag(0,0,3)