老师您好,请问矩阵交换特征值相同怎么证明

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/21 13:06:01

老师您好,请问矩阵交换特征值相同怎么证明
A,B都是n阶方阵,证明：AB与BA有相同特征值,且AB和BA的迹相同

需证明：若λ是AB的特征值,则λ也是BA的特征值.分两种情况：
(1)λ≠0.由λ是AB的特征值,存在非零向量x使得ABx=λx.
所以BA(Bx)=B(ABx)=B(λx)=λBx,且Bx≠0(否则λx=ABx=0,得λ=0,矛盾).
这说明Bx是BA的对应于特征值λ的特征向量,特别地λ也是BA的特征值.
(2)λ=0.此时存在非零向量x使得ABx=λx=0,所以AB不满秩,知det(AB)=0.
从而det(BA)=det(AB)=0,BA不满秩,所以存在非零向量x使得BAx=0=λx.
这说明λ=0也是BA的特征值.
AB和BA的迹相同直接相乘验证即可

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