一道高中数学题已知函数f(x)=(x+a)\(x^2+b)是定义在R上的奇函数,其值域为[-1/4,1/4｝(1)试求a

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/24 08:17:18

一道高中数学题
已知函数f(x)=(x+a)\(x^2+b)是定义在R上的奇函数,其值域为[-1/4,1/4｝
(1)试求a,b的值
(2)函数y=g(x)(x属于R)满足（1）当x属于[0,3)时,g(x)=f(x)；(2)g(x+3)=g(x)lnm (m不等于1）
求函数g(x)在x属于[3,9)上的解析式.
若g(x)在x属于[0,正无穷）上的值域是闭区间,试探求m的取值

（1）∵f(x)为R上的奇函数
∴f(x)=-f(-x)
∴(x+a)\(x^2+b)=-(-x+a)\(x^2+b)
解得：a =0,b>0
令y = f(x)=x/(x^2+b)
∴yx^2+yb-x=0
由题意：△≥0 即y^2≤1/4b
∴y∈[-1/4,1/4]
∴b=1/4
∴a的值为0,b的值为1/4
(2)∵g(x+3)=g(x)lnm
∴g(x)=g(x-3)lnm
当x∈[0,3)时,g(x)=f(x)=x/(x^2+1/4)
令x∈[3,6),x-3∈[3,6)
则：g(x)=g(x-3)lnm=f(x-3)lnm=(x-3)/[(x-3)^2+1/4]lnm
令x∈[6,9),x-3∈[3,6)
则：g(x)=g(x-3)lnm=(x-3)/[(x-6)^2+1/4]lnm
(x-3)/[(x-3)^2+1/4]lnm x∈[3,6)
∴g(x)=
(x-6)/[(x-6)^2+1/4]lnm x∈[6,9)
由上易得：当x∈[0,∞）
g(x)=(x-n)/[(x-n)^2+1/4]lnm n为常数,当x属于[0,3)时,m=e
令y=g(x),则：y[(x-n)^2+1/4]lnm = x-n
∴yx^2+yn^2-2nxy+y/4-xlnm+nlnm=0
∵△≥0 即(2ny+lnm)^2 -4y(yn^2+y/4+nlnm)≥0
∴y^2≥(lnm)^2
由题意：lnm ≠ 0 ,m ≠ 1
∴m∈(0,1)U(1,∞)
再问：貌似答案不对啊
再答：不好意思检查的确有错误。
……
∴yx^2+yb-x=0
由题意：△≥0 即1+by^2≥0
∴b=4
∴a的值为0，b的值为4
第二问可以类比上面的方法。
再问：话说这是我们考试的题，最后一题好像是1/e，1并上1，e啊，可否帮我分析一下，我实在不会做啊
再问：话说这是我们考试的题，最后一题好像是1/e，1并上1，e啊，可否帮我分析一下，我实在不会做啊
再答： (x-3)/[(x-3)^2+]lnm x∈[3,6)
∴g(x)=
(x-6)/[(x-6)^2+4]lnm x∈[6,9)

由上易得：当x∈[0,∞）
g(x)=(x-n)/[(x-n)^2+4]lnm n为常数，当x属于[0,3)时，m=e
令y=g(x),则：y[(x-n)^2+4]lnm = x-n
然后再用△，得解

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