作业帮求解高数题,是关于利用单调性证明极限存在的,只需要帮忙证明出单调性即可,
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/08 11:13:41
求解高数题,是关于利用单调性证明极限存在的,只需要帮忙证明出单调性即可,
见图
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1.x(n+1) = 1+x(n)/[1+x(n)]
用归纳法证明,当n>1时,1 x(n+2) - x(n+1) = (-1/2) [x(n+1) - x(n) ]
设 b(n) = x(n+1)-x(n),{b(n)} 是首项 b-a,公比 （-1/2）的等比数列.
b(n) = (b-a) * (-1/2)^(n-1)
x(n) = x1 + (b- a) + (b-a)*(-1/2) + .+ (b-a) * (-1/2)^(n-2)
Limit x(n) = a + (b-a)/(1+1/2) = (a+2b)/3
再问： 第一个好像有些出入吧，x(n+1)-x(n)得不到后面的式子， 1 {x(n)} 单增。 假设 x(n)> x(n-1), x(n+1) = 2 - 1 /[1+x(n)] > 2 - 1 /[1+x(n-1)] = x(n)
再问： 嗯，第一个的确是单增，但是 x(n+1)-x(n)= ...... = [ 2-x(n) ] * x(n) / [1+x(n) ] 我没看懂的，还麻烦详细说下，谢谢
再答： 抱歉，我写错了。 我见过的一道题： x(1)=2, x(n+1) = 2 + x(n)/[1+x(n)] 可以得到 x(n+1)-x(n)= ...... = [ 2-x(n) ] * x(n) / [1+x(n) ] 与你这道题不同。 本题用归纳法证明吧。
再问： 还请教下怎么用归纳法证明呢，谢谢~
再答： 1< x(n) < 2 首先 x(2)>x(1), 假设 x(n)> x(n-1), 则 1 /[1+x(n)] < 1 /[1+x(n-1)] x(n+1) = 1+x(n)/[1+x(n)] = 2 - 1 /[1+x(n)] > 2 - 1 /[1+x(n-1)] = x(n) 即证 x(n+1)>x(n) 。
用归纳法证明,当n>1时,1 x(n+2) - x(n+1) = (-1/2) [x(n+1) - x(n) ]
设 b(n) = x(n+1)-x(n),{b(n)} 是首项 b-a,公比 （-1/2）的等比数列.
b(n) = (b-a) * (-1/2)^(n-1)
x(n) = x1 + (b- a) + (b-a)*(-1/2) + .+ (b-a) * (-1/2)^(n-2)
Limit x(n) = a + (b-a)/(1+1/2) = (a+2b)/3
再问： 第一个好像有些出入吧，x(n+1)-x(n)得不到后面的式子， 1 {x(n)} 单增。 假设 x(n)> x(n-1), x(n+1) = 2 - 1 /[1+x(n)] > 2 - 1 /[1+x(n-1)] = x(n)
再问： 嗯，第一个的确是单增，但是 x(n+1)-x(n)= ...... = [ 2-x(n) ] * x(n) / [1+x(n) ] 我没看懂的，还麻烦详细说下，谢谢
再答： 抱歉，我写错了。 我见过的一道题： x(1)=2, x(n+1) = 2 + x(n)/[1+x(n)] 可以得到 x(n+1)-x(n)= ...... = [ 2-x(n) ] * x(n) / [1+x(n) ] 与你这道题不同。 本题用归纳法证明吧。
再问： 还请教下怎么用归纳法证明呢，谢谢~
再答： 1< x(n) < 2 首先 x(2)>x(1), 假设 x(n)> x(n-1), 则 1 /[1+x(n)] < 1 /[1+x(n-1)] x(n+1) = 1+x(n)/[1+x(n)] = 2 - 1 /[1+x(n)] > 2 - 1 /[1+x(n-1)] = x(n) 即证 x(n+1)>x(n) 。