设x,y,z∈R+,xy+yz+xz=1,证明不等式:(xy)^2/z+(xz)^2/y+(yz)^2/x+6xyz≥x

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/14 12:55:06

设x,y,z∈R+,xy+yz+xz=1,证明不等式:(xy)^2/z+(xz)^2/y+(yz)^2/x+6xyz≥x+y+z
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左式可化为[(xy)^3+(xz)^3+(yz)^3]/xyz+6xyz;然后[(xy)^3+(xz)^3+(yz)^3]/xyz>=3xyz(这一步是将分子利用(a+b+c)>=3*(abc)^(1/3));因此左式>=9xyz;接下来就只要证明9xyz>=x+y+z就行了,这个时候左右两边都除以xyz;得到9>=1/yz+1/xz+1/xy;因此只要证明这个不等式就行了,而该不等式可化为
9>=[1/yz+1/xz+1/xy]*(xy+yz+xz)(因为xy+yz+xz=1)；接下来利用柯西不等式就得证.
总结：对于这类证明不等式的问题,首先就是观察不等式的特征,然后利用一些基本的不等式化法达到目的,特别注意的是1的妙用.
再问： 9>=[1/yz+1/xz+1/xy]*(xy+yz+xz)这样得出来的不等号方向貌似反了吧
再答：我就是这一步没有检查结果竟然出了一个这么大得漏子很对不起稍等一下我帮你弄出来
再问：出来了没？
再答：昨晚耗了好几个小时但是还是没有弄出来未来我肯定可以弄出来的不过不知道还要多久
再问：有空的话再看看我别的问题http://zhidao.baidu.com/question/421540336.html?quesup2&oldq=1 http://zhidao.baidu.com/question/421551918.html?quesup2&oldq=1
再答：证明出来了，来自叫米迦勒雏菊的网友。

设x,y,z∈R+,xy+yz+xz=1,证明不等式:(xy)^2/z+(xz)^2/y+(yz)^2/x+6xyz≥x (2X+Z-Y)/(X^2-XY+XZ-YZ)-(Y-Z)/(X^2-XY-XZ+YZ) 设xyz是非零实数求|x|/x+|y|/y+|z|/z+|xy|/xy+|xz|/xz+|yz|/yz+|xyz|/xy XYZ-XY-XZ+X-YZ+Y+Z-1 xyz-xy-xz+x-yz+y+z-1因式分解设x,y,z≥0,且x+y+z=1,求证：0≤xy+yz+xz-2xyz≤7/27 求(2X+Z-Y)/(X^2-XY+XZ-YZ)-(2X+Y+Z)/(X^2+XY+XZ+YZ) 证明当x+y+z=1时,x/yz+y/xz+z/xy≥9 化简(2x-y-z/x^2-xy-xz+yz)+(2y-x-z/y^2-xy-yz+xz)+(2x-x-y/z^2-xz 分式题:xy=x+y,yz=2(y+z),zx=3(z+x),求xyz/(xy+yz+xz) 已知x+y+z=3,xy+yz+xz=-1,xyz=2,求x^2y^2+y^2z^2+x^2z^2 xy/x+y=1 yz/y+z=2 xz/x+z=3 求xyz/x+y+z=?