作业帮空间几何证明（用反证法）
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/03 21:44:15
空间几何证明（用反证法）
已知三棱锥V-ABC中,VA⊥平面ABC,△ABC是锐角三角形,H在面VBC上,且AH⊥平面VBC,求证：H不可能是△VBC的垂心.
已知三棱锥V-ABC中,VA⊥平面ABC,△ABC是锐角三角形,H在面VBC上,且AH⊥平面VBC,求证：H不可能是△VBC的垂心.
what?今天老师刚给我们出了这个题~还好认真听了
用反证法：假设H是△VBC的垂心
那么,连接BH并延长,交VC于D
那么BH⊥VC,
∵AH⊥面VBC,VC含于面VBC,∴AH⊥VC
∵AH∩BH=H,且AH,BH含于面ABH,
∴VC⊥面ABH
AB含于面ABH,∴AB⊥VC
∵VA⊥面ABC,AB含于面ABC,那么VA⊥AB
且VC∩VA=V,VC,VA含于面VAC,
所以AB⊥面VAC
AC含于面VAC,∴AB⊥AC
即∠BAC=90°
这与题目中△ABC是锐角三角形的条件矛盾
所以题设不成立
即H不可能是△VBC的垂心
用反证法：假设H是△VBC的垂心
那么,连接BH并延长,交VC于D
那么BH⊥VC,
∵AH⊥面VBC,VC含于面VBC,∴AH⊥VC
∵AH∩BH=H,且AH,BH含于面ABH,
∴VC⊥面ABH
AB含于面ABH,∴AB⊥VC
∵VA⊥面ABC,AB含于面ABC,那么VA⊥AB
且VC∩VA=V,VC,VA含于面VAC,
所以AB⊥面VAC
AC含于面VAC,∴AB⊥AC
即∠BAC=90°
这与题目中△ABC是锐角三角形的条件矛盾
所以题设不成立
即H不可能是△VBC的垂心