作业帮海伦定理证明?三角形面积与三边的关系
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/16 15:13:08
海伦定理证明?三角形面积与三边的关系
S＝√[s﹙s－a﹚﹙s－b﹚﹙s－c﹚]
其中s＝1／2﹙a＋b＋c﹚
再问： 证明？
再答： ∵cosC＝﹙a²＋b²－c²﹚／2ab， ∴1＋cosC＝﹙a²＋b²－c²＋2ab﹚／2ab ＝[﹙a＋b﹚²－c²]／2ab ＝[﹙a＋b＋c﹚﹙a＋b－c﹚]／2ab； 同理 1－cosC＝[﹙a－b＋c﹚﹙﹣a＋b＋c﹚]／2ab， 令s＝1/2﹙a＋b＋c﹚ 则sin²C＝1－cos²C ＝﹙1＋cosC﹚﹙1－cosC﹚ ＝4s﹙s－a﹚﹙s－b﹚﹙s－c﹚／a²·b²， 又S＝1/2ab·sinC ∴S²＝1/4a²·b²·sin²C ＝s﹙s－a﹚﹙s－b﹚﹙s－c﹚， ∴S＝√[s﹙s－a﹚﹙s－b﹚﹙s－c﹚]。
其中s＝1／2﹙a＋b＋c﹚
再问： 证明？
再答： ∵cosC＝﹙a²＋b²－c²﹚／2ab， ∴1＋cosC＝﹙a²＋b²－c²＋2ab﹚／2ab ＝[﹙a＋b﹚²－c²]／2ab ＝[﹙a＋b＋c﹚﹙a＋b－c﹚]／2ab； 同理 1－cosC＝[﹙a－b＋c﹚﹙﹣a＋b＋c﹚]／2ab， 令s＝1/2﹙a＋b＋c﹚ 则sin²C＝1－cos²C ＝﹙1＋cosC﹚﹙1－cosC﹚ ＝4s﹙s－a﹚﹙s－b﹚﹙s－c﹚／a²·b²， 又S＝1/2ab·sinC ∴S²＝1/4a²·b²·sin²C ＝s﹙s－a﹚﹙s－b﹚﹙s－c﹚， ∴S＝√[s﹙s－a﹚﹙s－b﹚﹙s－c﹚]。