作业帮已知函数f(x)＝x+4x(x＞0)．
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/15 09:40:50
已知函数f(x)＝x+
(x＞0)
| 4 |
| x |
（1）f（x）在（0，2]上单调递减，在（2，+∞）上单调递增．
证明（2）设0＜x1＜x2≤2，则f(x1)−f(x2)＝(x1+
4
x1)−(x2+
4
x2)＝(x1−x2)(1−
4
x1x2)
因0＜x1＜x2≤2，所有x1-x2＜0，1−
4
x1x2＜0，所以f（x1）-f（x2）＞0，
即 f（x1）＞f（x2），所以f（x）在（0，2]上单调递减．
设2＜x1＜x2，则f(x1)−f(x2)＝(x1+
4
x1)−(x2+
4
x2)＝(x1−x2)(1−
4
x1x2)
因2＜x1＜x2，所有x1-x2＜0，1−
4
x1x2＞0，所以f（x1）-f（x2）＜0，
即 f（x1）＜f（x2），所以f（x）在（2，+∞）上单调递增．
证明（2）设0＜x1＜x2≤2，则f(x1)−f(x2)＝(x1+
4
x1)−(x2+
4
x2)＝(x1−x2)(1−
4
x1x2)
因0＜x1＜x2≤2，所有x1-x2＜0，1−
4
x1x2＜0，所以f（x1）-f（x2）＞0，
即 f（x1）＞f（x2），所以f（x）在（0，2]上单调递减．
设2＜x1＜x2，则f(x1)−f(x2)＝(x1+
4
x1)−(x2+
4
x2)＝(x1−x2)(1−
4
x1x2)
因2＜x1＜x2，所有x1-x2＜0，1−
4
x1x2＞0，所以f（x1）-f（x2）＜0，
即 f（x1）＜f（x2），所以f（x）在（2，+∞）上单调递增．