线性方程组有解的充要条件 证明
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/15 08:21:54
线性方程组有解的充要条件 证明
线性方程组有解的充要条件是它的系数矩阵与增广矩阵的秩相等,怎么证?(不要用向量证)
线性方程组有解的充要条件是它的系数矩阵与增广矩阵的秩相等,怎么证?(不要用向量证)
设n元线性方程组系数矩阵为A,增广矩阵为B
证明:
① 必要性:反证法:设r(A)<r(B),则B的行阶梯型矩阵中最后一个非零行对应矛盾方程0=1,
这与方程组有解相矛盾,因此原假设不成立,即r(A)=r(B).
② 充分性:将B化为行阶梯型,设r(A)=r(B)=r(r≤n),则B的行阶梯型矩阵中含有r个非零行,
把这r个非零行的第一个非零元所对应的未知量作为非自由未知量,其余n-r个
作为自由未知量,并令n-r个自由未知量全取0,即可得方程组的一个解.
证毕!
顺便提一下,由以上不难得出,若方程组有
① 当r(A)=r(B)=n时,方程组没有自由未知量,因此只有唯一解.
② 当r(A)=r(B)=r<n时,方程组有n-r个自由未知量,令它们分别等于C1,C2,C(n-r),
可得含n-r个参数C1,C2,C(n-r)的解,这些参数可取任意值,所以此时方程组有无穷多解!
证明:
① 必要性:反证法:设r(A)<r(B),则B的行阶梯型矩阵中最后一个非零行对应矛盾方程0=1,
这与方程组有解相矛盾,因此原假设不成立,即r(A)=r(B).
② 充分性:将B化为行阶梯型,设r(A)=r(B)=r(r≤n),则B的行阶梯型矩阵中含有r个非零行,
把这r个非零行的第一个非零元所对应的未知量作为非自由未知量,其余n-r个
作为自由未知量,并令n-r个自由未知量全取0,即可得方程组的一个解.
证毕!
顺便提一下,由以上不难得出,若方程组有
① 当r(A)=r(B)=n时,方程组没有自由未知量,因此只有唯一解.
② 当r(A)=r(B)=r<n时,方程组有n-r个自由未知量,令它们分别等于C1,C2,C(n-r),
可得含n-r个参数C1,C2,C(n-r)的解,这些参数可取任意值,所以此时方程组有无穷多解!
线性方程组有解的充要条件 证明
证明:线性方程组AX=B有解的充要条件是:B与A’X=0的解空间正交.
非齐次线性方程组AX=B有解的充要条件是
非齐次线性方程组Ax=B有无穷解的充要条件
非齐次线性方程组有解的充要条件是什么?通解怎么求
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非齐次线性方程组有解和有唯一解的充要条件分别是什么?
线性代数 n元非齐次线性方程组AX=b有解的充要条件是( )
n元线性方程组Ax=b有唯一解的充要条件是( )
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线性方程组 证明有解
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