作业帮关于三次函数图象的问题
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/05 12:46:15
关于三次函数图象的问题
如图 G为中心 D为一个极值点.其中CD与EF的比值是否为与系数无关的常数,请给出证明.（如图,已多次改变二次一次系数,此值在精确
度不大时都为接近一常数）
首先不妨平移图像使中心与原点重合.
于是函数可设为f(x) = ax(x-b)(x+b) = a(x³-b²x).
f'(x) = a(3x²-b²),f(x)在x = -b/√3处取得极值2ab³/(3√3).
三次方程f(x) = 2ab³/(3√3)有一对重根x = -b/√3.
由根与系数关系,其三根之和为0 (二次项系数为0),于是剩下一根为2b/√3.
则CD = b√3,而EF = 2b,CD:EF = √3/2.
再问： 你能试试将方程设成 ax3+bx2+cx再证吗？ 我想知道这样设有没有什么其他方法？我的思路一样但是这样设后就难以计算。
再答： 干脆上全套系数, 设f(x) = ax³+bx²+cx+d, 则f'(x) = 3ax²+2bx+c. 不妨设a > 0, f'(x) = 0两实根设为α, β, 并设α < β, 则D点横坐标为α G点是对称中心, 横坐标(α+β)/2 = -b/(3a), 纵坐标f(-b/(3a)). 对方程f(x) = f(-b/(3a))移项, 提取因子x+b/(3a)得: f(x)-f(-b/(3a)) = (x+b/(3a))(a(x²-bx/(3a)+b²/(9a²))+b(x-b/(3a))+c) = 0. 于是E, F的横坐标是ax²+2bx/3-2b²/(9a)+c = 0的两根. EF = 两根之差 = √(4b²/9-4a(c-2b²/(9a)))/a = 2√(b²/3-ac)/a. C点横坐标设为γ, 有α和γ是方程f(x) = f(α)的根, 其中α是二重根. 由根与系数关系, 2α+γ = -b/a, 即γ = -b/a-2α. CD = γ-α = -b/a-3α = √(b²-3ac)/a (代入α = (-b-√(b²-3ac))/(3a)). 于是CD:EF = √3/2. 求E, F横坐标满足的二次方程时用了因式分解, C的横坐标用了根与系数关系. 这都是在已知部分根时的常用手法, 而且两种方法还可以换过来使. 直接求解三次方程就太麻烦了.
于是函数可设为f(x) = ax(x-b)(x+b) = a(x³-b²x).
f'(x) = a(3x²-b²),f(x)在x = -b/√3处取得极值2ab³/(3√3).
三次方程f(x) = 2ab³/(3√3)有一对重根x = -b/√3.
由根与系数关系,其三根之和为0 (二次项系数为0),于是剩下一根为2b/√3.
则CD = b√3,而EF = 2b,CD:EF = √3/2.
再问： 你能试试将方程设成 ax3+bx2+cx再证吗？ 我想知道这样设有没有什么其他方法？我的思路一样但是这样设后就难以计算。
再答： 干脆上全套系数, 设f(x) = ax³+bx²+cx+d, 则f'(x) = 3ax²+2bx+c. 不妨设a > 0, f'(x) = 0两实根设为α, β, 并设α < β, 则D点横坐标为α G点是对称中心, 横坐标(α+β)/2 = -b/(3a), 纵坐标f(-b/(3a)). 对方程f(x) = f(-b/(3a))移项, 提取因子x+b/(3a)得: f(x)-f(-b/(3a)) = (x+b/(3a))(a(x²-bx/(3a)+b²/(9a²))+b(x-b/(3a))+c) = 0. 于是E, F的横坐标是ax²+2bx/3-2b²/(9a)+c = 0的两根. EF = 两根之差 = √(4b²/9-4a(c-2b²/(9a)))/a = 2√(b²/3-ac)/a. C点横坐标设为γ, 有α和γ是方程f(x) = f(α)的根, 其中α是二重根. 由根与系数关系, 2α+γ = -b/a, 即γ = -b/a-2α. CD = γ-α = -b/a-3α = √(b²-3ac)/a (代入α = (-b-√(b²-3ac))/(3a)). 于是CD:EF = √3/2. 求E, F横坐标满足的二次方程时用了因式分解, C的横坐标用了根与系数关系. 这都是在已知部分根时的常用手法, 而且两种方法还可以换过来使. 直接求解三次方程就太麻烦了.