一道挺有意思的数学题如图,已知Rt△ABC,D1是斜边AB的中点,过D1作D1E1⊥AC于E1,连接BE1交CD1于D2

一道挺有意思的数学题
如图,已知Rt△ABC,D1是斜边AB的中点,过D1作D1E1⊥AC于E1,连接BE1交CD1于D2;过D2作D2E2⊥AC于E2,连接BE2交CD1于D3;过D3作D3E3⊥AC于E3,…,如此继续,可以依次得到点D4,D5,…,Dn,分别记△BD1E1,△BD2E2,△BD3E3…,△BDnEn的面积为S1,S2,S3,…,Sn.则Sn＝ S△ABC（用含n的代数式表示）.

易知D1E1∥BC,∴△BD1E1与△CD1E1同底同高,面积相等,以此类推；
根据直角三角形的性质以及相似三角形的性质可知：D1E1= 12BC,CE1= 12AC,S1= 122S△ABC；
∴在△ACB中,D2为其重心,
∴D2E1= 13BE1,
∴D2E2= 13BC,CE2= 13AC,S2= 132S△ABC,
∴D3E3= 14BC,CE2= 14AC,S2= 142S△ABC…；
∴Sn= 1(n+1)2S△ABC．
还有一种方法,比较好理解.
S△BDnEn= 12S△DnEn•CEn
DnEn=D1E1•CEn• D1E1CE1,而D1E1= 12BC,CE1= 12AC
所以S△BDnEn= 12• 12BC• CEn12AC•CEn= 12BC•CEnAC•CEn= 12BC•AC[ CEnAC]2
=S△ABC•[ CEnAC]2
延长CD1至F使得D1F=CD1,所以ACBF为矩形．
CEnAC= DnEnAF= CEn-1CEn-1+BFAF= CEn-1CEn-1+AC
对于 CEnAC= CEn-1CEn-1+AC
两边均取倒数,所以有 ACCEn=1+ ACCEn
即是 ACCEn- ACCEn-1=1
ACCEn构成等差数列．
而 ACCE1=2,故 ACCEn=2+1•（n-1）=n+1
所以S△BDnEn=S△ABC•[[ CEnAC]2
则Sn= 1(n+1)2S△ABC
再问： 请问那个12,13,14是什么？
再答： http://www.jyeoo.com/math/search?p=1&c=0&q=%E5%A6%82%E5%9B%BE%EF%BC%8C%E5%B7%B2%E7%9F%A5Rt%E2%96%B3ABC%2CD1%E6%98%AF%E6%96%9C%E8%BE%B9AB%E7%9A%84%E4%B8%AD%E7%82%B9%EF%BC%8C%E8%BF%87D1%E4%BD%9CD1E1%E2%8A%A5AC%E4%BA%8EE1%EF%BC%8C%E8%BF%9E%E6%8E%A5BE1%E4%BA%A4CD1%E4%BA%8ED2%3B%E8%BF%87D2%E4%BD%9CD2E2%E2%8A%A5AC%E4%BA%8EE2%EF%BC%8C%E8%BF%9E%E6%8E%A5BE2%E4%BA%A4CD1%E4%BA%8ED3%3B%E8%BF%87D3%E4%BD%9CD3E3%E2%8A%A5AC%E4%BA%8EE3%EF%BC%8C%E2%80%A6%EF%BC%8C%E5%A6%82%E6%AD%A4%E7%BB%A7%E7%BB%AD%EF%BC%8C%E5%8F%AF%E4%BB%A5%E4%BE%9D%E6%AC%A1%E5%BE%97%E5%88%B0%E7%82%B9D4%EF%BC%8CD5%EF%BC%8C%E2%80%A6%2CDn%EF%BC%8C%E5%88%86%E5%88%AB%E8%AE%B0%E2%96%B3BD1E1%EF%BC%8C%E2%96%B3BD2E2%EF%BC%8C%E2%96%B3BD3E3%E2%80%A6%EF%BC%8C%E2%96%B3BDnEn%E7%9A%84%E9%9D%A2%E7%A7%AF%E4%B8%BAS1%EF%BC%8CS2%EF%BC%8CS3%EF%BC%8C%E2%80%A6%2CSn.%E5%88%99Sn%EF%BC%9D+++++++++S%E2%96%B3ABC%EF%BC%88%E7%94%A8%E5%90%ABn%E7%9A%84%E4%BB%A3%E6%95%B0%E5%BC%8F%E8%A1%A8%E7%A4%BA%EF%BC%89%E3%80%82