作业帮三维柯西不等式题目 1题
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/19 07:54:17
三维柯西不等式题目 1题
a,b,c均为正数,求证：
1 1 1 1 1 1
— + — + — 》= ———+ —— + ———
2a 2b 2c b+c c+a a+b
1/2a + 1/2b + 1/2c >= 1/(b+c) + 1/(c+a) + 1/(a+b)
a,b,c均为正数,求证：
1 1 1 1 1 1
— + — + — 》= ———+ —— + ———
2a 2b 2c b+c c+a a+b
1/2a + 1/2b + 1/2c >= 1/(b+c) + 1/(c+a) + 1/(a+b)
(1/2a+1/2b+1/2c)^2
=(1/2a+1/2b+1/2c)(1/2b+1/2c+1/2a)
>=(1/2根ab+1/2根bc+1/2根ca)^2 (三维柯西不等式)
>=(1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a))^2 (均值不等式)
故原式1/2a+1/2b+1/2c>=1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)成立
=(1/2a+1/2b+1/2c)(1/2b+1/2c+1/2a)
>=(1/2根ab+1/2根bc+1/2根ca)^2 (三维柯西不等式)
>=(1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a))^2 (均值不等式)
故原式1/2a+1/2b+1/2c>=1/(a+b)+1/(b+c)+1/(c+a)成立