已知实数a b c 满足a+b+c=3 求证 (1+a+a^2)(1+b+b^2)(1+c+c^2)>=9(ab+bc+
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/15 19:21:33
已知实数a b c 满足a+b+c=3 求证 (1+a+a^2)(1+b+b^2)(1+c+c^2)>=9(ab+bc+ac)
设u=a+b+c=3,v=ab+bc+ca,w=abc,
则有恒等式:
a^2+b^2+c^2=u^2-2v,
ab^2+ac^2+bc^2+ba^2+ca^2+cb^2=uv-3w,
(ab)^2+(bc)^2+(ca)^2=v^2-2uw,
(1+a)(1+b)(1+c)=1+u+v+w,
∴ (1+a+a^2)(1+b+b^2)(1+c+c^2)-9(ab+bc+ac)
=1+u+a^2+b^2+c^2+(a+a^2)(b+b^2)+(b+b^2)(c+c^2)+(c+c^2)(a+a^2)
+(a+a^2)(b+b^2)(c+c^2)-9v
=1+u+u^2-2v+v+uv-3w+v^2-2uw+w(1+u+v+w)-9v
=13-7v-5w+v^2+vw+w^2
=w^2+(v-5)w+v^2-7v+13
=[w+(v-5)/2]^2+(3/4)(v-3)^2>=0,
∴命题成立.
则有恒等式:
a^2+b^2+c^2=u^2-2v,
ab^2+ac^2+bc^2+ba^2+ca^2+cb^2=uv-3w,
(ab)^2+(bc)^2+(ca)^2=v^2-2uw,
(1+a)(1+b)(1+c)=1+u+v+w,
∴ (1+a+a^2)(1+b+b^2)(1+c+c^2)-9(ab+bc+ac)
=1+u+a^2+b^2+c^2+(a+a^2)(b+b^2)+(b+b^2)(c+c^2)+(c+c^2)(a+a^2)
+(a+a^2)(b+b^2)(c+c^2)-9v
=1+u+u^2-2v+v+uv-3w+v^2-2uw+w(1+u+v+w)-9v
=13-7v-5w+v^2+vw+w^2
=w^2+(v-5)w+v^2-7v+13
=[w+(v-5)/2]^2+(3/4)(v-3)^2>=0,
∴命题成立.
已知实数a b c 满足a+b+c=3 求证 (1+a+a^2)(1+b+b^2)(1+c+c^2)>=9(ab+bc+
已知a,b,c是实数,求证a*a+b*b+c*c>=ab+3b+2c
已知实数a,b,c,满足a>0,a^2-2ab+c^2=0,bc>a^2 (1)求证:b>c>0 (2)试确定实数a,c
已知实数a.b.c满足a^+b^=1,b^+c^=2,c^+a^=2,则ab+bc+ca的最小值为?
已知实数a、b、c满足a×a+b×b=1,b×b+c×c=2,c×c+a×a=2,则ab+bc+ac的最小值是多少?
已知abc都是实数 求证 a^2+b^2+c^2》1/3(a+b+c)》ab+bc+ca
已知a,b,c是正实数,满足a^2=b(b+c),b^2=c(c+a).证明:1/a+1/b=1/c
已知a,b,c都是实数,求证:a^2+b^2+c^2≥1/3(a+b+c)^2≥ab+bc+ac
a,b,c属于正实数,已知a/(1+a)+b/(1+b)+c/(1+c)=1,求证:a+b+c大于等于3/2
实数abc,满足a>b>c,且a+b+c=1,a^2+b^2+c^2=1,求证a+b大于1小于4/3
已知实数abc满足a+b+c=0,a>b>c,求证1/3<a/a-c<2/3
设a,b,c满足ab+bc+cd+da=1,求证:a^3/(b+c+d)+b^3/(a+c+d)+c^3/(a+b+d)