设A为n阶方阵,且R(A)=n-1,A*为矩阵A的伴随矩阵,求证∶存在常数k,使(A*)^2=kA*
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/16 05:33:22
设A为n阶方阵,且R(A)=n-1,A*为矩阵A的伴随矩阵,求证∶存在常数k,使(A*)^2=kA*
R(A)=n-1
=> |A|=0
=>AA*=|A|E=0
又因为R(AA*) 》R(A)+R(A*)-n
因此R(A*)《 1
有因为R(A)=n-1,即至少有一个n-1阶子式不等于0,即R(A*) 》1
所以R(A*)=1
=>A*=(a1,a2,...an)^T(b1,b2,...bn) (即A能表示成一个行向量乘以列向量)
=>(A*)^2=(a1,a2,...an)^T(b1,b2,...bn)(a1,a2,...an)^T(b1,b2,...bn)=(a1,a2,...an)^Tk(b1,b2,...bn)=kA*
其中k=(b1,b2,...bn)(a1,a2,...an)^t (这是一个数,因为1Xn X nX1=1)
更一般的(A*)^m=k^{m-1}A*
再问: 嗯,和我证的一样,就是我不知道为什么可以那么设,是不是因为它的秩为1?
再答: 对
再答: 你这题是高代还是线代啊?感觉我们的线代没有这么难
再问: 线代哦,这是最后一个证明题
=> |A|=0
=>AA*=|A|E=0
又因为R(AA*) 》R(A)+R(A*)-n
因此R(A*)《 1
有因为R(A)=n-1,即至少有一个n-1阶子式不等于0,即R(A*) 》1
所以R(A*)=1
=>A*=(a1,a2,...an)^T(b1,b2,...bn) (即A能表示成一个行向量乘以列向量)
=>(A*)^2=(a1,a2,...an)^T(b1,b2,...bn)(a1,a2,...an)^T(b1,b2,...bn)=(a1,a2,...an)^Tk(b1,b2,...bn)=kA*
其中k=(b1,b2,...bn)(a1,a2,...an)^t (这是一个数,因为1Xn X nX1=1)
更一般的(A*)^m=k^{m-1}A*
再问: 嗯,和我证的一样,就是我不知道为什么可以那么设,是不是因为它的秩为1?
再答: 对
再答: 你这题是高代还是线代啊?感觉我们的线代没有这么难
再问: 线代哦,这是最后一个证明题
设A为n阶方阵,且R(A)=n-1,A*为矩阵A的伴随矩阵,求证∶存在常数k,使(A*)^2=kA*
设A是任一n(n≥3)阶方阵,A*是其伴随矩阵,又k为常数,且k≠0,±1,则必有(kA)*=( )
设A是N阶矩阵,且A的行列式|A|=a≠0,而A*是A的伴随矩阵,K是常数,则|KA*|是多少
设A为n阶方阵,且|A|=2,A*为A的伴随矩阵,则|A*|=?
线性代数问题n阶方阵A,A*为A的伴随矩阵,求证1:当r(A)=n-1时,r(A*)=1;2:当r(A)<n-1时,r(
设A为n阶方阵,若已知r(A)=1,证明存在常数k使A^2=kA
设A为n阶矩阵,且行列式A=a,K为任意常数,则行列式kA=?
设A*为n阶方阵A的伴随矩阵,则AA*=A*A=
设n阶方阵A可逆,A^*为A的伴随矩阵,证明|A^*|=|A|^n-1
n阶方阵A,(kA)的伴随矩阵=(k的n-1次方)乘以 A的伴随阵,怎么证明?
设N阶矩阵A可逆,A*为A的伴随矩阵,试证A*也可逆,且(A*)逆矩阵=1/[A]乘以A 万分感激
设n阶矩阵A的伴随矩阵为A* 证明:|A*|=|A|^(n-1)