已知O为三角形ABC的外心,AB=4,AC=6,BC=7,则向量AO*BO等多少?

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/08 22:52:34

已知O为三角形ABC的外心,AB=4,AC=6,BC=7,则向量AO*BO等多少?
AO*BO=? 是云南师大附中的高考适应性月考题

由余弦定理得cosC=23/28,
AO与BO是三角形外接圆的半径,设为R,
根据正弦定理得：R=c/(2sinC).
∠AOB是圆心角,是相应圆周角∠C的两倍.
向量AO*BO=R* R*cos∠AOB
=R^2cos2C
= R^2(1-2sin^2C)
= c^2/(4sin^2C)•(1-2sin^2C)
=16/(4sin^2C)•(1-2sin^2C)
将sin^2C=1- cos^2C=1-23²/28²代入上式得：
向量AO*BO=1096/255.
若是求向量AO*BC,
可以这样做：
延长AO交外接圆于D.cosDAC=AC/AD,cosDAB= AB/AD,
AO*BC=1/2AD*(AC-AB)
=1/2(AD*AC-AD*AB)
=1/2(|AD||AC|cosDAC-|AD||AB|cosDAB)
=1/2(|AD||AC|* AC/AD-|AD||AB|* AB/AD)
=1/2(|AC|^2-|AB|^2)
=1/2*（36-16）
=10.

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