8人排成一排照相,A,B,C三人互不相邻,D,E也不相邻,共有多少种排法?

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/22 11:43:14

8人排成一排照相,A,B,C三人互不相邻,D,E也不相邻,共有多少种排法?
排列问题,要求答案和过程

此题很麻烦啊,是高中题吗?
楼上的解法有漏洞,因为并没有考虑ABC三人中只有两人相邻的情况.
1)先考虑ABC三人互不相邻,而DE可以相邻的情况.
A B C
不妨设ABC排列如上,因为ABC互不相邻,位置必须都不为0,的组合情况有(1,1)(1,2)(2,1)(1,3)(3,1)(2,2)(1,4)(4,1)(2,3)(3,2)
a)对(1,1),共有的排列数5*4,还剩下3人,排列数为:3!,形如:_Q_S_T_,共四个空档,把A B C作为一个整体,
放入其中任一个空档,得到一种排列,总共有排列数:5*4*3!*4=5!*4
b) 对(1,2),共有排列数5*4*3,还剩2人,排列数2!,同上,有三个空档,总共有排列数 5*4*3*2!*3
(2,1)的情况与(1,2)一样,所以(1,2)(2,1)形共有:
5*4*3*2*3*2=5!*6
c)对(1,3),共有5*4*3*2,还剩1人,有两个空档,排列数:5*4*3*2*2
(3,1)(2,2)同(1,3),所以总共有:
5*4*3*2*2*3=5!*6
d)对(1,4)(4,1)(2,3)(3,2)每种情况有5*4*3*2*1,总共有:5*4*3*2*1*4=5!*4
e) 综合上述情况,ABC互不相邻,而DE可以相邻的情况,总共有:5!*(4+6+6+4)=20*5!个
2) 再考虑ABC互不相邻,而DE完全相邻的情况有几种.
同1),ABC的排列如:A B C,要求XY都不等于0,DE相邻可以把他们简化乘一个人,这样除ABC外,还有4人,(X,Y)的组合情况有:
(1,1)(1,2)(2,1)(1,3)(3,1)(2,2)
a)(1,1)排列数有:4*3,剩4-2=2人,排列数2!,三个空档,共有的排列数:4*3*2!*3=4!*3
b)(1,2)(2,1),总共的排列数是:4*3*2*2*2=4!*4
c)(1,3)(3,1)(2,2)型,总共的排列数是:4*3*2*1*3=4!*3
d)DE相邻的情况,加上DE可以交换位置,共有:4!*(3+4+3)*2=20*4!=4*5!
3) 对 A B C,DE也不相邻的情况共有:5!*(20-4)=16*5!
考虑到ABC的不同排列情况共6种,总的排法是:6*16*5!=16*6!=11520 种

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