作业帮已知函数f（x）=sinxx，下列命题正确的是______．（写出所有正确命题的序号）
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/12 10:17:04
已知函数f（x）=
| sinx |
| x |
①函数的定义域为{x|x≠0}，则f（-x）=
−sinx
−x=
sinx
x=f（x），即f（x）偶函数；故①错误．
②由①知，函数f（x）是偶函数，则只需判断当x＞0时，条件是否满足即可．
当x∈（0，
π
2）时，sinx＜x，此时
sinx
x＜1成立，
当x∈[
π
2，+∞)sinx≤1＜x，∴
sinx
x＜1成立，
∴对定义域内任意x，f（x）＜1恒成立，故②成立；
③函数的导数为f′（x）=
xcosx−sinx
x2，
当x=
3
2π时，f′（
3
2π）=
1
(
3π
2)2≠0，∴f（x）取得极小值错误，故③错误；
④∵
π
2＜2＜3＜π，∴sin2＞sin3＞0，∴
sin2
2＞
sin3
3，
即f（2）＞f（3），∴④正确．
⑤当x＞0时，若方程|f（x）|=k有且仅有两个不同的实数解α，β（α＞β），
∴k＞0，
∵x＞0时，y=sinx为周期函数，y=x为增函数，
∴f（x）在（0，π）的最大值大于f（x）在（π，2π）的最大值大于f（x）在（2π，3π）的最大值…
∵α＞β，
∴α必为y=f（x）在（π，2π）取最大值时x的值，
π＜x＜2π时，y=|f（x）|=-
sinx
x，y′=-
xcosx−sinx
x2，
则f′（α）=0，
则αcosα-sinα=0，即cosα=
sinα
α，
所以，f（α）=-
sinα
α=-cosα=k
α，β为方程f（x）=k在（0，π）的根
∴
sinβ
β＝k=-cosα，
即：βcosα=-sinβ，故⑤正确．
故答案为：②④⑤
−sinx
−x=
sinx
x=f（x），即f（x）偶函数；故①错误．
②由①知，函数f（x）是偶函数，则只需判断当x＞0时，条件是否满足即可．
当x∈（0，
π
2）时，sinx＜x，此时
sinx
x＜1成立，
当x∈[
π
2，+∞)sinx≤1＜x，∴
sinx
x＜1成立，
∴对定义域内任意x，f（x）＜1恒成立，故②成立；
③函数的导数为f′（x）=
xcosx−sinx
x2，
当x=
3
2π时，f′（
3
2π）=
1
(
3π
2)2≠0，∴f（x）取得极小值错误，故③错误；
④∵
π
2＜2＜3＜π，∴sin2＞sin3＞0，∴
sin2
2＞
sin3
3，
即f（2）＞f（3），∴④正确．
⑤当x＞0时，若方程|f（x）|=k有且仅有两个不同的实数解α，β（α＞β），
∴k＞0，
∵x＞0时，y=sinx为周期函数，y=x为增函数，
∴f（x）在（0，π）的最大值大于f（x）在（π，2π）的最大值大于f（x）在（2π，3π）的最大值…
∵α＞β，
∴α必为y=f（x）在（π，2π）取最大值时x的值，
π＜x＜2π时，y=|f（x）|=-
sinx
x，y′=-
xcosx−sinx
x2，
则f′（α）=0，
则αcosα-sinα=0，即cosα=
sinα
α，
所以，f（α）=-
sinα
α=-cosα=k
α，β为方程f（x）=k在（0，π）的根
∴
sinβ
β＝k=-cosα，
即：βcosα=-sinβ，故⑤正确．
故答案为：②④⑤
已知函数f（x）=sinxx，下列命题正确的是______．（写出所有正确命题的序号）
已知直线l：kx+y-k+2=0和两点A（3，0），B（0，1），下列命题正确的是______（填上所有正确命题的序号）
设函数f(x)=|x|x+bx+c,给出四个命题,正确的序号是：
设x、y∈R+，S=x+y，P=xy，以下四个命题中正确命题的序号是______．（把你认为正确的命题序号都填上）
已知函数f(x)=xlnx,且x2>x1>0,则下列命题正确的是
设函数f（x）=x|x|+bx+c,给出下列四个命题,其中正确的是----
下列说法中正确的是______（把所有正确说法的序号都填上）．
把题发给您,．（2010•安徽模拟）已知直线a、b和平面α、β,下列命题正确的是②④． （写出所有正确命题的
已知函数f(x)＝sinπx(x2+1)(x2−2x+2).关于下列命题正确的个数是（ ）
下列命题为正确命题的是（ ）
下列命题中正确的是（ ）
下列命题唯一正确的是（ ）