作业帮数学急！！！
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/17 05:16:06
解题思路： 本题主要考查抽象函数中赋值法研究奇偶性，求值以及用定义法研究函数的单调性．
解题过程：
解析:
（1）证明∵函数定义域为R，其定义域关于原点对称.
∵f（x+y）-f（x）+f（y），令y=-x,∴f(0)=f(x)+f(-x).令x=y=0,
∴f(0)-f(0)+f(0),得f(0)=0.∴f（x）+f（-x）=0，得f(-x)=-f(x),
∴f(x)为奇函数.
（2）解 方法一 设x,y∈R+，∵f（x+y）=f（x）+f（y），
∴f（x+y）-f（x）=f（y）.∵x∈R+，f（x）＜0,
∴f(x+y)-f(x)＜0,∴f(x+y)＜f(x).
∵x+y＞x,∴f(x)在（0，+∞）上是减函数.又∵f（x）为奇函数，f（0）=0，
∴f（x）在（-∞,+∞）上是减函数.∴f（-2）为最大值，f(6)为最小值.
∵f(1)=-
,∴f(-2)=-f(2)=-2f(1)=1,
f(6)=2f(3)=2［f（1）+f（2）］=-3.
∴所求f(x)在区间［-2，6］上的最大值为1，最小值为-3.
方法二 设x1＜x2,且x1,x2∈R.
则f(x2-x1)=f［x2+(-x1)］=f(x2)+f(-x1)=f(x2)-f(x1).
∵x2-x1＞0,∴f(x2-x1)＜0.∴f(x2)-f(x1)＜0.即f(x)在R上单调递减.
∴f（-2）为最大值，f（6）为最小值.∵f（1）=-，
∴f（-2）=-f（2）=-2f（1）=1，f（6）=2f（3）=2［f（1）+f（2）］=-3.
∴所求f(x）在区间［-2，6］上的最大值为1，最小值为-3.
解题过程：
解析:
（1）证明∵函数定义域为R，其定义域关于原点对称.
∵f（x+y）-f（x）+f（y），令y=-x,∴f(0)=f(x)+f(-x).令x=y=0,
∴f(0)-f(0)+f(0),得f(0)=0.∴f（x）+f（-x）=0，得f(-x)=-f(x),
∴f(x)为奇函数.
（2）解 方法一 设x,y∈R+，∵f（x+y）=f（x）+f（y），
∴f（x+y）-f（x）=f（y）.∵x∈R+，f（x）＜0,
∴f(x+y)-f(x)＜0,∴f(x+y)＜f(x).
∵x+y＞x,∴f(x)在（0，+∞）上是减函数.又∵f（x）为奇函数，f（0）=0，
∴f（x）在（-∞,+∞）上是减函数.∴f（-2）为最大值，f(6)为最小值.
∵f(1)=-
,∴f(-2)=-f(2)=-2f(1)=1,f(6)=2f(3)=2［f（1）+f（2）］=-3.
∴所求f(x)在区间［-2，6］上的最大值为1，最小值为-3.
方法二 设x1＜x2,且x1,x2∈R.
则f(x2-x1)=f［x2+(-x1)］=f(x2)+f(-x1)=f(x2)-f(x1).
∵x2-x1＞0,∴f(x2-x1)＜0.∴f(x2)-f(x1)＜0.即f(x)在R上单调递减.
∴f（-2）为最大值，f（6）为最小值.∵f（1）=-
，∴f（-2）=-f（2）=-2f（1）=1，f（6）=2f（3）=2［f（1）+f（2）］=-3.
∴所求f(x）在区间［-2，6］上的最大值为1，最小值为-3.