作业帮平面的法向量已知平面α内有三点A(-2,0,3)B(1,-4,1)C(0,3,6)及向量a=(3,4,5),求向量a与α
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/12 19:01:08
平面的法向量
已知平面α内有三点A(-2,0,3)B(1,-4,1)C(0,3,6)及向量a=(3,4,5),求向量a与α的法向量的余弦值.
已知平面α内有三点A(-2,0,3)B(1,-4,1)C(0,3,6)及向量a=(3,4,5),求向量a与α的法向量的余弦值.
向量AB=(1,-4,1)-(-2,0,3)=(3,-4,-2)；
向量AC=(0,3,6)-(-2,0,3)=(2,3,3).
向量AB∈α,向量AC∈α,
设 n=(x,y,z)为平面α的一个法向量,∵向量n⊥α,∴向量n⊥向量AB,向量n⊥向量AC.
即,向量 n.向量AB=0,向量n.向量AC=0.
即,(x,y,z).(3,-4,-2)=0.
3x-4y-2z=0.
(x,y,z).(2,3,3)=0,
2x+3y+3z=0.
另z=3,则,3x-4y-6=0 (1),2x+3y+9=0 (2).
联解之,得：x=-18/17,y=-39/17.
∴向量n=(-18/17,-39/17,3) 又已知向量 a=(3,4,5).
向量a.向量n=(3,4,5).(-18/17,-39/17,3)=-54/17-156/17+15=45/17.
|向量a|=√(3^2+4^2+5^2)=5√2.
|向量n|=√[(-18/17)^2+(-39/17)^2+3^2]=(√4446)/17.
设向量a与向量n的夹角为,则,
cos=a.n/|a|.|n|=(45/17)/{(5√2)*[√4446)/17]}=(45√2223)/(10*2223).
∴cos =9√2223/4446.
向量AC=(0,3,6)-(-2,0,3)=(2,3,3).
向量AB∈α,向量AC∈α,
设 n=(x,y,z)为平面α的一个法向量,∵向量n⊥α,∴向量n⊥向量AB,向量n⊥向量AC.
即,向量 n.向量AB=0,向量n.向量AC=0.
即,(x,y,z).(3,-4,-2)=0.
3x-4y-2z=0.
(x,y,z).(2,3,3)=0,
2x+3y+3z=0.
另z=3,则,3x-4y-6=0 (1),2x+3y+9=0 (2).
联解之,得：x=-18/17,y=-39/17.
∴向量n=(-18/17,-39/17,3) 又已知向量 a=(3,4,5).
向量a.向量n=(3,4,5).(-18/17,-39/17,3)=-54/17-156/17+15=45/17.
|向量a|=√(3^2+4^2+5^2)=5√2.
|向量n|=√[(-18/17)^2+(-39/17)^2+3^2]=(√4446)/17.
设向量a与向量n的夹角为,则,
cos=a.n/|a|.|n|=(45/17)/{(5√2)*[√4446)/17]}=(45√2223)/(10*2223).
∴cos =9√2223/4446.
平面的法向量已知平面α内有三点A(-2,0,3)B(1,-4,1)C(0,3,6)及向量a=(3,4,5),求向量a与α
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