等腰直角三角形,角ABC为直角,BA=BC,P为三角形ABC中的一点,PA=PC=1,PB=2,求角BPC

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/12 17:11:55

错题!等腰直角三角形内这样的P点不存在!
证明：
∵PA=PC
∴P点在线段AC的中垂线上
做BD⊥AC于D,根据等腰三角形的性质,则BD同时是三角形ABC的高、中线和角平分线
∵P为三角形ABC中的一点
∴P点必在线段BD上
∴BP≤BD.（1）
PA+PC≥AC.（2）
又：直角三角形斜边的中线等于斜边的一半
∴BD=1/2AC .（3）
根据(1)、(2)、(3)：
BP ≤ BD=1/2AC ≤ 1/2(PA+PC).(4)
将PA=PC=1,PB=2代入（4）得：
2≤1/2(1+1)=1,显然不成立
∴题目中的P点不存在.
如果题目改为：【等腰直角三角形,角ABC为直角,BA=BC,P为三角形ABC中的一点,PA=PC=2,PB=1,求角BPC】,解法如下：
∵PA=PC
∴P点在线段AC的中垂线上
做BD⊥AC于D,根据等腰三角形的性质,则BD同时是三角形ABC的高、中线和角平分线
∵P为三角形ABC中的一点
∴P点必在线段BD上
设BD=x,则PD=BD-PB=x-1
∵直角三角形斜边的中线等于斜边的一半
∴AC=2BD=2x,AD=CD=x
PD^2+AD^2 = PA^2
(x-1)^2 + x^2 = 2^2
x^2-x = 3/2
(x-1/2)^2 = 7/4
x = (1+根号7)/2
sin∠CPD = CD/PC = (1+根号7 )/4
∠BPC = 180° - ∠CPD = 180° - arc sin [(1+根号7)/4]