将直角边为6的等腰三角形RT三角形AOC放在如图直角平面坐标系中.点O为原点,点C.A分别在X.Y轴正半轴上.一抛物线过

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/17 02:15:49

将直角边为6的等腰三角形RT三角形AOC放在如图直角平面坐标系中.点O为原点,点C.A分别在X.Y轴正半轴上.一抛物线过点A.C及点B（-3,0） 1.求解析式 2.若点P是线段BC上一动点,过P做AB的平行线交AC于E,连接AP.当三角形APE的面积最大.求P坐标 3.在第一象限内的抛物线是否存在点G,使三角形AGC的面积于第二问的三角形APE最大面积相等.存在,求点G坐标.不存在说明理由!

（1）已知OA、OC的长,可得A、C的坐标,即可用待定系数法求出抛物线的解析式．
（2）设出点P的横坐标,表示出CP的长,由于PE‖AB,可利用相似三角形△CPE∽△CBA,求出△APE的面积表达式,进而可将面积问题转换为二次函数的最值问题,根据函数的性质即可得到△APE的最大面积及对应的P点坐标．
（3）由于△AGC的面积无法直接求出,可用割补法求解,过G作GH⊥x轴于H,设出G点坐标,表示出△AGC、梯形AOHG的面积,它们的面积和减去△AOC的面积即可得到△AGC的面积表达式,然后将（2）题所得△APE的面积最大值代入上式中,联立抛物线的解析式即可得到点G的坐标．
（1）如图,∵抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A（0,6）,
∴c=6．（1分）
∵抛物线的图象又经过点（-3,0）和（6,0）,
∴ {0=9a-3b+60=36a+6b+6,（1分）
解之得 {a=-13b=1,（1分）
故此抛物线的解析式为：y=- 13x2+x+6．（1分）
（2）设点P的坐标为（m,0）,
则PC=6-m,S△ABC= 12BC•AO= 12×9×6=27；（1分）
∵PE‖AB,
∴△CEP∽△CAB；（1分）
∴ S△CEPS△CAB=(PCBC)2,
即 S△CEP27=（ 6-m9）2,
∴S△CEP= 13（6-m）2,（1分）
∵S△APC= 12PC•AO= 12（6-m）×6=3（6-m）,
∴S△APE=S△APC-S△CEP=3（6-m）- 13（6-m）2=- 13（m- 32）2+ 274；
当m= 32时,S△APE有最大面积为 274；
此时,点P的坐标为（ 32,0）．（1分）
（3）如图,过G作GH⊥BC于点H,设点G的坐标为G（a,b）,（1分）
连接AG、GC,
∵S梯形AOHG= 12a（b+6）,
S△CHG= 12（6-a）b,
∴S四边形AOCG= 12a（b+6）+ 12（6-a）b=3（a+b）．（1分）
∵S△AGC=S四边形AOCG-S△AOC,
∴ 274=3（a+b）-18,（1分）
∵点G（a,b）在抛物线y=- 13x2+x+6的图象上,
∴b=- 13a2+a+6,
∴ 274=3（a- 13a2+a+6）-18,
化简,得4a2-24a+27=0,
解之得a1= 32,a2= 92；
故点G的坐标为（ 32,274）或（ 92,154）．