线性代数证明题设v是某数域上的n维线性空间,证明存在v的无限子集s,使得s中任意n个向量都是线性无关的.写的详细再加五十

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/21 17:59:32

线性代数证明题
设v是某数域上的n维线性空间,证明存在v的无限子集s,使得s中任意n个向量都是线性无关的.写的详细再加五十

设V是数域K上的n维线性空间,可知V同构于向量空间K^n,故只需讨论V = K^n的情形.
考虑V的子集S = {(1,a,a^2,a^3,...,a^(n-1)) | a ∈ K}.
K作为数域,总是无限集,故S也是无限集.
只需证明S中的任意n个(不同)向量必然线性无关.
原因很简单:以这n个向量作为行向量的行列式是Vandermonde行列式.
每行对应的a两两不等,因此行列式非零,各行线性无关.
因此上面构造的S满足要求.

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