定义在R上的函数f(x)的图像关于点(-3/4,0)成中心对称,对任意的实数x都有f(x)=-f(x+3/2)

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/20 07:47:57

定义在R上的函数f(x)的图像关于点(-3/4,0)成中心对称,对任意的实数x都有f(x)=-f(x+3/2)
且f(-1)=1,f(0)=-2,则f(1)+f(2)+f(3)+……+f(2008)=?

由f(x+3/2)=-f(x),得f(x+3)=f((x+3/2)+3/2)=-f(x+3/2)=f(x),则有周期T＝3.
又f(x)的图像关于点(-3/4,0)成中心对称,即f(-3/4+x)=-f(-3/4-x),令x=1/4,得f(-1/2)=f(-1),
即f(-2+3/2)=-f(-2)=1,则有f(1+3k)=f(-2)=-1,f(2+3k)=f(-1)=1,f(3+3k)=f(0)=-2,其中k是任意整数.则原式=(2007/3)(f(1)+f(2)+f(3))+f(2008)=669*(-2)+(-1)=-1339.
再问：话说答案是1
再答：是吗，可能哪算错了，等等，我再算一次，修改后如下：由f(x+3/2)=-f(x)，得f(x+3)=f((x+3/2)+3/2)=-f(x+3/2)=f(x)，则有周期T＝3。又f(x)的图像关于点(-3/4，0)成中心对称,即f(-3/4+x)=-f(-3/4-x)，令x=1/4，得f(-1/2)=-f(-1)，即f(1)=-f(-1/2+3/2)=f(-1)=1，则有f(1+3k)=f(-2)=1，f(2+3k)=f(-1)=1,f(3+3k)=f(0)=-2,其中k是任意整数。则原式=(2007/3)(f(1)+f(2)+f(3))+f(2008)=669*(1+1-2)+(1)=1。（之前在第二行那弄成f(-1/2)=f(-1)了，f(-1)前的负号掉了，不好意思）