作业帮复合函数极限运算法则里的条件
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/14 07:15:11
复合函数极限运算法则里的条件
这个
一定要存在么?
下面的这个例子不是太懂,
这是x*sin(1/x)的图像,
那么当x->0的时候,就有两种情况：
当x=1/nπ时,g(x)=0,f(g(x))=0,也就是lim(x->0) f(g(x))=0
当当x不等于1/nπ时,g(x)不等于0,但是趋近于0,于是lim(x->0) f(g(x))=1
两种情况的极限不等,所以原极限不存在
对比着上面的定理,意思是不是：
1） 所以如果
的等号成立,
x0=1/nπ,那么g(x)=0,f(g(x))=0,也就是lim(x->0) f(g(x))=0；
2） 但是如果等号不成立,
x不等于1/nπ时,g(x)不等于0,但是趋近于0,于是lim(x->0) f(g(x))=1
所以综合一下,只有增加
这个条件以后,lim(x->0) f(g(x))=1
是这个意思么?
这个
一定要存在么?
下面的这个例子不是太懂,
这是x*sin(1/x)的图像,
那么当x->0的时候,就有两种情况：
当x=1/nπ时,g(x)=0,f(g(x))=0,也就是lim(x->0) f(g(x))=0
当当x不等于1/nπ时,g(x)不等于0,但是趋近于0,于是lim(x->0) f(g(x))=1
两种情况的极限不等,所以原极限不存在
对比着上面的定理,意思是不是：
1） 所以如果
的等号成立,x0=1/nπ,那么g(x)=0,f(g(x))=0,也就是lim(x->0) f(g(x))=0；
2） 但是如果等号不成立,
x不等于1/nπ时,g(x)不等于0,但是趋近于0,于是lim(x->0) f(g(x))=1
所以综合一下,只有增加
这个条件以后,lim(x->0) f(g(x))=1是这个意思么?
梳理如下：
第一个问题：一定要有条件“ψ(x)≠u0”.
例①,ψ(x)=1 (x∈R),
f(u)为分段函数：当u≠1时,f(u)=u；当u=1时,f(u)=2,
取x0=1,则u0=1,【ψ(x)=u0】=1,lim(u→1)f(u)=1=A,lim(x→1)f(ψ(x))=f(1)=2,2≠1,
即lim(x→1)f(ψ(x))≠A,即定理1的结论不成立.
第二个问题：关于例子x*sin(1/x),
首先,这个函数是由两个函数的乘积构成的：f(x)= x,g(x)=sin(1/x)：f(x)*g(x)=x*sin(1/x),
而不是由两个函数的复合构成的.
仅从这一点来说,把这个例子用在这里并不合适.
不过,这其中的第二个函数sin(1/x)是由两个函数的复合构成的：ψ(x)=1/x,f(u)=sinu.
其次,函数x*sin(1/x)当x→0时的极限确定是0,这是因为一个无穷小量乘以一个有界量还是无穷小量.
这个也可以通过x*sin(1/x)的图像来理解.
所以,关于例子x*sin(1/x),无论你取 x等于或不等于1/nπ,只要x→0,它的极限就是0.
对此,原问题中的陈述不正确.
从这一点来说,把这个例子用在这里也不合适.
合适的例子是上面的例①.
第三个问题：细化一下,
在定理1中是说,“在x0的某去心邻域内ψ(x)≠u0”,
也就是说,是在x0的附近成立ψ(x)≠u0就可以.
例如,ψ(x)=sinx (x∈R),
取x0=0,则u0=0,
【ψ(x)≠u0在x0的某去心邻域内成立,比如在去心邻域（-1/2π,1/2π）成立】
【而在x0的以远,比如在去心邻域（-2π,2π）,ψ(x)≠u0就不成立】
这种情况属于符合定理1中的条件“在x0的某去心邻域内ψ(x)≠u0”.
如果不存在这样的邻域,则就不符合条件.
第一个问题：一定要有条件“ψ(x)≠u0”.
例①,ψ(x)=1 (x∈R),
f(u)为分段函数：当u≠1时,f(u)=u；当u=1时,f(u)=2,
取x0=1,则u0=1,【ψ(x)=u0】=1,lim(u→1)f(u)=1=A,lim(x→1)f(ψ(x))=f(1)=2,2≠1,
即lim(x→1)f(ψ(x))≠A,即定理1的结论不成立.
第二个问题：关于例子x*sin(1/x),
首先,这个函数是由两个函数的乘积构成的：f(x)= x,g(x)=sin(1/x)：f(x)*g(x)=x*sin(1/x),
而不是由两个函数的复合构成的.
仅从这一点来说,把这个例子用在这里并不合适.
不过,这其中的第二个函数sin(1/x)是由两个函数的复合构成的：ψ(x)=1/x,f(u)=sinu.
其次,函数x*sin(1/x)当x→0时的极限确定是0,这是因为一个无穷小量乘以一个有界量还是无穷小量.
这个也可以通过x*sin(1/x)的图像来理解.
所以,关于例子x*sin(1/x),无论你取 x等于或不等于1/nπ,只要x→0,它的极限就是0.
对此,原问题中的陈述不正确.
从这一点来说,把这个例子用在这里也不合适.
合适的例子是上面的例①.
第三个问题：细化一下,
在定理1中是说,“在x0的某去心邻域内ψ(x)≠u0”,
也就是说,是在x0的附近成立ψ(x)≠u0就可以.
例如,ψ(x)=sinx (x∈R),
取x0=0,则u0=0,
【ψ(x)≠u0在x0的某去心邻域内成立,比如在去心邻域（-1/2π,1/2π）成立】
【而在x0的以远,比如在去心邻域（-2π,2π）,ψ(x)≠u0就不成立】
这种情况属于符合定理1中的条件“在x0的某去心邻域内ψ(x)≠u0”.
如果不存在这样的邻域,则就不符合条件.