已知数列{Xn}满足x1=1/2,xn+1=1/(1+xn),n∈N+,猜想数列{X2n}的单调性,并证明你的结论
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/21 06:41:49
已知数列{Xn}满足x1=1/2,xn+1=1/(1+xn),n∈N+,猜想数列{X2n}的单调性,并证明你的结论
由题意可以xn为分式,不妨设xn=an/bn,且an,bn互质,
可知 x1=1/2,x2=2/3,x3=3/5,x4=5/8,x5=8/13,x6=13/21……
即a1=1,a2=2,a3=3,a4=5,a5=8,a6=13,……
b1=2,b2=3,b3=5,b4=8,b5=13,b6=21,……
bn=an+1
所以xn=an/an+1)
an+2=an+1+an
在数列{X2n}中
X2n-X2(n-1)=a2n/a2n+1-a2n-2/a2n=(a2n*a2n-a2n+1*a2n-2)/(a2n+1*a2n)
分母为正数,为了书写方便,先舍去,只计算分子
a2n*a2n-a2n+1*a2n-2=(a2n-1+a2n-2)^2-(a2n-2+2a2n-1)*(a2n-2)=(a2n-1)
^2>0
所以 X2n-X2(n-1)>0,数列{X2n}为增函数
可知 x1=1/2,x2=2/3,x3=3/5,x4=5/8,x5=8/13,x6=13/21……
即a1=1,a2=2,a3=3,a4=5,a5=8,a6=13,……
b1=2,b2=3,b3=5,b4=8,b5=13,b6=21,……
bn=an+1
所以xn=an/an+1)
an+2=an+1+an
在数列{X2n}中
X2n-X2(n-1)=a2n/a2n+1-a2n-2/a2n=(a2n*a2n-a2n+1*a2n-2)/(a2n+1*a2n)
分母为正数,为了书写方便,先舍去,只计算分子
a2n*a2n-a2n+1*a2n-2=(a2n-1+a2n-2)^2-(a2n-2+2a2n-1)*(a2n-2)=(a2n-1)
^2>0
所以 X2n-X2(n-1)>0,数列{X2n}为增函数
已知数列{Xn}满足x1=1/2,xn+1=1/(1+xn),n∈N+,猜想数列{X2n}的单调性,并证明你的结论
已知数列{Xn}满足x1=1/2,xn+1=1/(1+xn),n∈N+,证明:|xn+1-xn|≤1/6*(2/5)^n
已知数列xn满足xn-xn^2=sin(xn-1/n),证明xn的趋向正无穷的极限为0
设数列{xn}满足xn+1=xn/2+1/xn,X0>0,n=0,1,2,3,...证明数列{xn}极限存在并求出其极限
已知数列{xn}满足x1=3,x2=x1/2,...,xn=1/2(xn-1+xn-2),n=3,4,...,则xn等于
已知x1≠1,x1>0,xn+1=xn(xn^2+3)/(3xn^2+1)(n∈N),求证:数列{xn}或者对任意正整数
数列{an}满足X1=a>0,Xn+1=1/2(Xn+a/Xn),n∈N*,若数列{Xn}的极限存在且大于0,求Xn(n
求证一数列是柯西数列数列Xn,已知X1=1,X(n+1)=1+1/(Xn+1)求证Xn是柯西数列 并且求出Xn的极限
已知数列xn满足x1=4,x(n+1)=(xn^2-3)/(2xn-4)
已知数列{xn}满足xn+1=xn-xn-1(n≥2),x1=a,x2=b,Sn=x1+x2+…+xn,则下面正确的是(
证明数列X1=2,Xn+1=0.5(Xn+1/Xn)的极限存在
已知X1=2^(1\2),Xn+1=(2Xn)^(1\2),(n=1,2,3,4……),证明数列Xn的极限存在