作业帮高中数学函数.此题不难,想对下答案~
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/17 06:02:05
高中数学函数.此题不难,想对下答案~
（1）f'(x)=1/(x+1)-1/[a*(x+1)^2=(ax+a-1)/(x+1)^2
若函数f（x）在[0,+∞）上为增函数
则任意x在[0,+∞）上,f'(x)>=0恒成立,即ax+a-1>=0恒成立
也即a>=1/(x+1) 故只需满足a不小于1/(x+1)的最大值,而1/(x+1)
在x在[0,+∞）上时,1/(x+1)的最大值为1,故a>=1
（2）
（3）
由（1）当a=1时,f(x)=ln(x+1)-x/(x+1)在[0,+∞）上为增函数
故当x>0时,f(x)=ln(x+1)-x/(x+1)>f(0)=0 即 ln(x+1)>x/(x+1)
令x=1/(n-1)则lnn/(n-1)>1/n (n>1)
故ln2/1>1/2
ln3/2>1/3
ln4/3>1/4
……
lnn/(n-1)>1/n
左右叠加得lnn>1/2+1/3+1/4+-------+1/n 得证
再问： 第二小题。 为什么在-1/2的时候取最大，而不是1的时候
再答： f(1)=ln2-1/2 f(-1/2)=ln(1/2)+1 ln(1/2)+1-(ln2-1/2) =3/2-2ln2 ln2≈0.7 ∴3/2-2ln2>0 ∴f(-1/2)>f(1)
再问： 第三小题 可以用数学归纳法 写一下吗 谢谢谢谢谢
再答： 抱歉此问不用归纳，用了反而不好做
再问： 这样子。 老师之前提示说 用数学归纳 或者 赋值什么的
再答： 令x=1/(n-1) 就是赋值
若函数f（x）在[0,+∞）上为增函数
则任意x在[0,+∞）上,f'(x)>=0恒成立,即ax+a-1>=0恒成立
也即a>=1/(x+1) 故只需满足a不小于1/(x+1)的最大值,而1/(x+1)
在x在[0,+∞）上时,1/(x+1)的最大值为1,故a>=1
（2）
（3）
由（1）当a=1时,f(x)=ln(x+1)-x/(x+1)在[0,+∞）上为增函数
故当x>0时,f(x)=ln(x+1)-x/(x+1)>f(0)=0 即 ln(x+1)>x/(x+1)
令x=1/(n-1)则lnn/(n-1)>1/n (n>1)
故ln2/1>1/2
ln3/2>1/3
ln4/3>1/4
……
lnn/(n-1)>1/n
左右叠加得lnn>1/2+1/3+1/4+-------+1/n 得证
再问： 第二小题。 为什么在-1/2的时候取最大，而不是1的时候
再答： f(1)=ln2-1/2 f(-1/2)=ln(1/2)+1 ln(1/2)+1-(ln2-1/2) =3/2-2ln2 ln2≈0.7 ∴3/2-2ln2>0 ∴f(-1/2)>f(1)
再问： 第三小题 可以用数学归纳法 写一下吗 谢谢谢谢谢
再答： 抱歉此问不用归纳，用了反而不好做
再问： 这样子。 老师之前提示说 用数学归纳 或者 赋值什么的
再答： 令x=1/(n-1) 就是赋值