已知二次函数y=x2-（m2+8）x+2（m2+6）求证:不论m取何实数,此函数图象都与x轴有两个交点,

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/06 05:50:07

已知二次函数y=x2-（m2+8）x+2（m2+6）求证:不论m取何实数,此函数图象都与x轴有两个交点,
且两个交点都在x轴的正半轴上

根据题意,函数对应的方程有两个正数解,即：
判别式>0,且x1+x2>0,x1x2>0
根据韦达定理
x1+x2=-b/a=m²+8,由于对于m∈R,都有m²+8>0
x1x2=c/a=m²+6,显然,对于m∈R,都有m²+6>0
所以,对于m∈R,函数必定与X轴有两个交点且这两个交点都在X轴的正半轴上
再问：再具体点，有点懂了，韦达定理现在是课外知识，有点不太熟
再答：【证明】函数图像与X轴的交点，实际上就是当f(x)=0时，方程x²-(m²+8)x+2(m²+6)=0的根要使方程具有两个正实数根，则必须满足：方程判别式大于0，两根之和大于0和两根之积大于0 ∵△=b²-4ac=(m²+8)²-8(m²-6)=m^4+16m²+64-8m²+48=m^4+8m²+112=(m²+4)²+96 ∵对于任何m，都存在m²≥0 ∴m²+4≥4 ∴△>0，则方程对于任何m都存在两个实数根，假设方程两根为X1、X2 根据方程根的公式x=(-b±√△)/2a得知 x1+x2=(-b+√△)/2a+(-b-√△)/2a=-b/a=m²+8 显然，对于任何m，都存在m²+8≥8>0 x1x2=(-b+√△)/2a×(-b-√△)/2a=(b²-△)/4a²=(b²-b²+4ac)/2a²=c/a=2(m²+6) 同样道理，对于任何m都存在2(m²+6)≥12>0 ∴对于任何m，方程x²-(m²+8)x+2(m²+6)=0不仅具有两个实数根，而且这两个实数根均为正数所以，f(x)=x²-(m²+8)x+2(m²+6)的函数图像与X轴具有两个交点，且这两个交点均位于X轴的正半轴。【对于判别式大于0，方程具有两个根，这点好理解，关键是两根之和大于0，两根之积大于0，可能不好理解。首先，两个实数之积大于0，则可以得出这两个实数同为正数或同为负数；其次，在这个情况下，如果这两个实数之和大于0，则表明这两个实数同为正，如果两个实数之和小于0，则表明这两个实数同为负。】【引申】如果要求两根一正一负，只要满足判别式大于0，两根之积小于0即可；如果两根均为负，则要满足判别式大于0，且两根之和小于0，两根之积大于0；如果只有一个根（或两个相等根），则只需满足判别式等于0即可；如果无根，则满足判别式小于0即可。