在平面直角坐标系xOy中，直线AB与x轴交于点A（8，0），与y轴交于点B（0，6）．动点P自原点O向A点运动，速度为1

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：综合作业时间：2024/05/20 06:16:03

在平面直角坐标系xOy中，直线AB与x轴交于点A（8，0），与y轴交于点B（0，6）．动点P自原点O向A点运动，速度为1个单位/秒；动点Q自原点O沿折线O-B-A运动，速度为2个单位/秒；P、Q两点同时运动，设运动时间为t秒，P

点到达A点时终止运动．
（1）当Q点在线段BA上运动时，请直接用t表示Q点的坐标．
（2）当t＞3时，求tan∠QPO的值．
（3）在整个运动过程中是否存在这样的t值，使得△OQP是直角三角形？如果存在，请求出t的取值范围或相应的t值；如果不存在，请说明理由．
（4）当t为何值时，△OPQ是以OQ为腰的等腰三角形？请直接写出此时的t值．

（1）如图1，点Q在线段AB上，设Q（a，b）．过点Q作QC⊥OB于点C，过点Q作QD⊥OA于点D．
∵点A（8，0），点B（0，6）．
∴OB=6，OA=8．
∴在Rt△AOB中，根据勾股定理求得AB=10．
∵CQ∥OA，
∴∠1=∠2，
∴cos∠1=cos∠2，即
OA
AB=
CQ
BQ，
∴
8
10=
a
2t-6，
解得，a=
8t-24
5．
又∵sin∠2=
OB
AB=
b
10-(2t-6)，即
6
10=
b
16-2t，
解得b=
48-6t
5，
∴Q点坐标为（
8t-24
5，
48-6t
5）；

（2）如图1，当t＞3时，点Q在线段AB上．
由（1）知，OD=a=
8t-24
5
∴PD=OP-OD=t-a=
24-3t
5，
又由（1）知，QD=b=
48-6t
5，
∴tan∠QPO=
QD
PD=

48-6t
5

24-3t
5=2，即tan∠QPO=2；

（3）当点Q在OB边上运动时，△OQP总是直角三角形，此时0＜t≤3；
当点Q在边BA上运动时，如图1，只有∠OQP=90°，过Q点作QH⊥OA，垂足为H，
则tan∠QPO=tan∠OQH=
OH
QH=2，
∴
8t-24
5：
48-6t
5=2，
解得t=6．
∴当0＜t≤3或t=6时，△OQP是直角三角形；

（4）当OQ=PQ时，易求t=
48
11；
当OQ=OP时，如图3，过O点作OM⊥PQ，垂足为M；过Q点作QH⊥OP，垂足为H．
设HP=x，则QH=2x，QP=
5x，QM=PM=