作业帮已知二次函数,f(x)=ax²+bx+c(a≠0）求证：方程f(x)=1/2[f(0)+f(1)]有两个不相等
来源：学生作业帮 编辑：作业帮 分类：数学作业 时间：2024/05/11 01:05:13
已知二次函数,f(x)=ax²+bx+c(a≠0）求证：方程f(x)=1/2[f(0)+f(1)]有两个不相等的实数根,且有一个根在区间（0,1）内.
证明：f(0)+f(1)
=c+(a+b+c)
=a+b+2c;
f(x)=0.5[f(0)+f(1)]即
ax^2+bx+c=0.5a+0.5b+c;
→ax^2+bx-0.5(a+b)=0;
其判别式△=b^2 -4a×[-0.5(a+b)]
=b^2 +(2a^2+2ab)
=(a+b)^2 +a^2
因为f(x)是二次函数,所以a≠0;
则a^2＞0；
则判别式△=(a+b)^2 +a^2＞0；
因此方程f(x)=0.5[f(0)+f(1)]有两个不相等的实数根；
令g(x)=ax^2+bx-0.5(a+b);
则:g(0)=-0.5(a+b);
g(1)=a+b-0.5(a+b)=0.5(a+b);
因为g(0)×g(1)=-0.25(a+b)^2≤0,
所以有一个根在区间【0,1】内
=c+(a+b+c)
=a+b+2c;
f(x)=0.5[f(0)+f(1)]即
ax^2+bx+c=0.5a+0.5b+c;
→ax^2+bx-0.5(a+b)=0;
其判别式△=b^2 -4a×[-0.5(a+b)]
=b^2 +(2a^2+2ab)
=(a+b)^2 +a^2
因为f(x)是二次函数,所以a≠0;
则a^2＞0；
则判别式△=(a+b)^2 +a^2＞0；
因此方程f(x)=0.5[f(0)+f(1)]有两个不相等的实数根；
令g(x)=ax^2+bx-0.5(a+b);
则:g(0)=-0.5(a+b);
g(1)=a+b-0.5(a+b)=0.5(a+b);
因为g(0)×g(1)=-0.25(a+b)^2≤0,
所以有一个根在区间【0,1】内
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已知二次函数f(x)=ax²+bx+c 若a＞b＞c,且f(1)=0,证明f(x)必有两个零点
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