已知椭圆C1:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率为根号3/3,直线l：y=x+2与以原点为圆心,以

来源：学生作业帮编辑：作业帮分类：数学作业时间：2024/05/15 09:26:40

已知椭圆C1:x^2/a^2+y^2/b^2=1(a>b>0)的离心率为根号3/3,直线l：y=x+2与以原点为圆心,以椭圆C为短半轴长
以椭圆C的短半轴长为半径的圆相切. （1）求椭圆C的方程. （2）若AC,BD为椭圆C的两条相互垂直的弦,垂足为右焦点F₂,求四边形ABCD的面积的最小值.

已知椭圆C1:x^2/a^2+y^2/b^2=1 (a>b>0)的离心率为1/√3,以原点为圆心、以椭圆C1的短半轴长为半径的圆与直线l：y=x+2相切.
（1）求椭圆C1的方程.
（2）若AC,BD为椭圆C1的两条相互垂直的弦,垂足为右焦点F₂,求四边形ABCD的面积的最小值.
（1）直线y=x+2到原点的距离为√2,由直线与圆相切知,圆半径为√2,故b=√2.
椭圆离心率为1/√3,即c/a=1/√3,c^2/a^2=1/3,(a^2-b^2)/a^2=1/3,所以a^2=3/2*b^2=3.
所以,椭圆方程为x^2/3+y^2/2=1.
（2）椭圆的几个参数为,c=1,e=1/√3,p=b^2/c=2.
以椭圆右焦点F为极点,x轴负方向为极轴,建立极坐标系,则椭圆的极坐标方程为 ρ=e*p/(1-e*cos θ)=2/(√3 - cos θ).
设点A、B、C、D的极坐标分别为(α,ρ1)、(α+π/2,ρ2)、(α+π,ρ3)、(α-π/2,ρ4),即FA=ρ1,FB=ρ2,FC=ρ3,FD=ρ4,其中0≤α