作业帮 > 数学 > 作业

试证方程2^x=3有且仅有一个根

来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/06/02 09:58:39
试证方程2^x=3有且仅有一个根
证明可以分两步,一是证明有根,二是证明根是唯一的.
证明:令f(x)=2^x-3
则f(1)=-10
显然由介值定理知在区间(1,2)内方程有一根.
再来证明唯一性
若方程有两不同的实根x1,x2
则f(x1)=f(x2)
因为两根不相等,不妨设x1>x2
由函数的单调性知f(x1)>f(x2).显然矛盾.
故根是唯一的.命题得证.