证方程sinx=x只有一个根!
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/11 03:01:38
证方程sinx=x只有一个根!
给一下大概的证明思路就行!
给一下大概的证明思路就行!
1)直接证明.
可设函数 f(x)=sinx - x ,则 f'(x)=cosx - 1 [ f'(x) 表示求导],
因 cosx≤1,所以 f'(x)≤0,那么 f(x) 在 (-∞,+∞) 内单调递减,其图像与 x轴仅有一个交点,故 方程 sinx - x=0 (即 sinx=x)只有一个实根 x=0.
[注:虽然 f(x) 不是“严格单减”,但其驻点 ---- 即 x=2kπ,k∈Z ---- 都是离散的,所以 f(x) 不可能在 x 的某一个邻域 (x-△,x+△) 内为恒值,当然也就不可能在 x=0 的邻域 (0-△,0+△) 内恒为 0.]
(2)反证法.
设方程 sinx - x=0 至少有两个根,且相邻的两根为 x1,x2(不妨设 x1<x2),由于 f(x)=sinx - x 是连续可导函数,那么在 (x1,x2) 内必有一个极值点 x3,因此在区域 (x1,x3) 或 (x3,x2) 必存在“单调递增”区域,这与 f'(x)=cosx - 1≤0 矛盾,所以 方程 sinx - x=0 仅有一个实根 x=0.
可设函数 f(x)=sinx - x ,则 f'(x)=cosx - 1 [ f'(x) 表示求导],
因 cosx≤1,所以 f'(x)≤0,那么 f(x) 在 (-∞,+∞) 内单调递减,其图像与 x轴仅有一个交点,故 方程 sinx - x=0 (即 sinx=x)只有一个实根 x=0.
[注:虽然 f(x) 不是“严格单减”,但其驻点 ---- 即 x=2kπ,k∈Z ---- 都是离散的,所以 f(x) 不可能在 x 的某一个邻域 (x-△,x+△) 内为恒值,当然也就不可能在 x=0 的邻域 (0-△,0+△) 内恒为 0.]
(2)反证法.
设方程 sinx - x=0 至少有两个根,且相邻的两根为 x1,x2(不妨设 x1<x2),由于 f(x)=sinx - x 是连续可导函数,那么在 (x1,x2) 内必有一个极值点 x3,因此在区域 (x1,x3) 或 (x3,x2) 必存在“单调递增”区域,这与 f'(x)=cosx - 1≤0 矛盾,所以 方程 sinx - x=0 仅有一个实根 x=0.
证方程sinx=x只有一个根!
试证方程sinx=x只有一个实根
证明:方程sinx+x+1=0 只有一个实根.
证明方程sinx=x在实数集R上只有一个根
证明sinx-x=1只有一个根介于-2与-1之间
判断y=-x和y=sinx的交点个数,除了图像法,还有如果联立这两个方程,咋解出只有一个解?
证明方程sinx+2-x=0 至少有一个不超过3的根.
证明方程sinx-x+1=0在(0,π)内至少有一个根
高数函数题,急用,证明 x =sinx 只有一个实根.
判断方程x+sinx=0的根的个数
如果分式方程2x/(x+1)-a/(x平方+x)=(x-1)/x只有一个实数根,求a的值和方程的根
若方程ax²-x-1=0只有一个实数根,求a的范围