请教一道求极限的题:lim[x->0](xcosx-sinx)/x^3 答案是使用洛必达法则得到-1/3 ,以下是我的做
来源:学生作业帮 编辑:作业帮 分类:数学作业 时间:2024/05/29 21:11:37
请教一道求极限的题:lim[x->0](xcosx-sinx)/x^3 答案是使用洛必达法则得到-1/3 ,以下是我的做法:
分子分母同除x得到lim[x->0](cosx-sinx/x)/x^2,又因为lim[x->0]sinx/x=1,所以得到
lim[x->0]cosx-1/x^2,用-x^2/2等价无穷小替换cosx-1,最后得到-1/2.
分子分母同除x得到lim[x->0](cosx-sinx/x)/x^2,又因为lim[x->0]sinx/x=1,所以得到
lim[x->0]cosx-1/x^2,用-x^2/2等价无穷小替换cosx-1,最后得到-1/2.
我来试试吧...
LZ是应该是大学生吧...总之,要从根本上来解答的话,必须用到
泰勒公式 和 无穷小的阶数 这两个概念
泰勒展开:cosx=1-1/2!x^2+1/4!x^4-.
sinx=x-1/3!x^3+1/5!x^5-...
于是xcosx-sinx=-1/3x^3+1/30x^5-...
lim(x→0)(xcosx-sinx)/x^3=lim(x→0)[-1/3x^3+1/30x^5-...]/x^3
=lim(x→0)[-1/3x^3]/x^3=-1/3
其中运用了一个等价无穷小...
设a(x),b(x)均为x0处的无穷小,(就是说x→x0,a(x),b(x)→0)
b(x)≠0,若lim(x→x0) a(x)/b(x)=k≠0
则称a(x)与b(x)为同阶无穷小
当k=1时,称a(x),b(x)等价...
若k=0则称a(x)是b(x)的高阶无穷小(理解为更迅速→0,比如x²是x的高阶无穷小)
记为a(x)= o(b(x)),则有lim(x→x0) o(b(x))/b(x)=0
定理:一般地,x→0时,一个无穷小a(x)与它的高阶无穷小(记为) o(a(x)) 之和与a(x)等价
证明:lim(x→x0) [a(x)+o(a(x))]/a(x)=lim(x→x0) a(x)/a(x)+lim(x→x0) o(a(x))/a(x)=1
而在求极限中,等价的无穷小是可以替换的
所以 -1/3x^3+1/30x^5-...可以用 -1/3x^3 来替换
(注意,不是等价无穷小就不能替换)
知识补充好了 我们来看看LZ的问题.
分子分母同除x得到lim[x->0](cosx-sinx/x)/x^2,又因为lim[x->0]sinx/x=1,所以得到
lim[x->0]cosx-1/x^2
错误产生了...LZ直接用 1 替换了 sinx/x,意思就是 1和sinx/x是等价无穷小...是这样吗?
错了...他们都不是无穷小..不能转换
即便要转换,也必须这样cosx-sinx/x~cosx-1 -(sinx/x-1)~cosx-1-0...
也就是说 sinx/x-1是0的等价无穷小...这显然是错误的
退一步说...
cosx-sinx/x和cosx-1 也不是等价无穷小...
cosx-sinx/x -1/3x^2 cosx-1 -1/2x^2
所以cosx-sinx/x不能被cosx-1替换...
产生这个的原因是什么?
原因是 cosx-1 和 sinx/x-1 是等价无穷小...他们都是x²的同阶无穷小..
cosx-1-(sinx/x-1)是多少阶是不能直接确定的,只知道它的阶数不小于2
这里运用cosx-1=-1/2x^2 正好和x^2是同阶无穷小也完全是运气...
所以说..根本原因就是 非等价无穷小的替换导致了 极限的错误
LZ是应该是大学生吧...总之,要从根本上来解答的话,必须用到
泰勒公式 和 无穷小的阶数 这两个概念
泰勒展开:cosx=1-1/2!x^2+1/4!x^4-.
sinx=x-1/3!x^3+1/5!x^5-...
于是xcosx-sinx=-1/3x^3+1/30x^5-...
lim(x→0)(xcosx-sinx)/x^3=lim(x→0)[-1/3x^3+1/30x^5-...]/x^3
=lim(x→0)[-1/3x^3]/x^3=-1/3
其中运用了一个等价无穷小...
设a(x),b(x)均为x0处的无穷小,(就是说x→x0,a(x),b(x)→0)
b(x)≠0,若lim(x→x0) a(x)/b(x)=k≠0
则称a(x)与b(x)为同阶无穷小
当k=1时,称a(x),b(x)等价...
若k=0则称a(x)是b(x)的高阶无穷小(理解为更迅速→0,比如x²是x的高阶无穷小)
记为a(x)= o(b(x)),则有lim(x→x0) o(b(x))/b(x)=0
定理:一般地,x→0时,一个无穷小a(x)与它的高阶无穷小(记为) o(a(x)) 之和与a(x)等价
证明:lim(x→x0) [a(x)+o(a(x))]/a(x)=lim(x→x0) a(x)/a(x)+lim(x→x0) o(a(x))/a(x)=1
而在求极限中,等价的无穷小是可以替换的
所以 -1/3x^3+1/30x^5-...可以用 -1/3x^3 来替换
(注意,不是等价无穷小就不能替换)
知识补充好了 我们来看看LZ的问题.
分子分母同除x得到lim[x->0](cosx-sinx/x)/x^2,又因为lim[x->0]sinx/x=1,所以得到
lim[x->0]cosx-1/x^2
错误产生了...LZ直接用 1 替换了 sinx/x,意思就是 1和sinx/x是等价无穷小...是这样吗?
错了...他们都不是无穷小..不能转换
即便要转换,也必须这样cosx-sinx/x~cosx-1 -(sinx/x-1)~cosx-1-0...
也就是说 sinx/x-1是0的等价无穷小...这显然是错误的
退一步说...
cosx-sinx/x和cosx-1 也不是等价无穷小...
cosx-sinx/x -1/3x^2 cosx-1 -1/2x^2
所以cosx-sinx/x不能被cosx-1替换...
产生这个的原因是什么?
原因是 cosx-1 和 sinx/x-1 是等价无穷小...他们都是x²的同阶无穷小..
cosx-1-(sinx/x-1)是多少阶是不能直接确定的,只知道它的阶数不小于2
这里运用cosx-1=-1/2x^2 正好和x^2是同阶无穷小也完全是运气...
所以说..根本原因就是 非等价无穷小的替换导致了 极限的错误
请教一道求极限的题:lim[x->0](xcosx-sinx)/x^3 答案是使用洛必达法则得到-1/3 ,以下是我的做
求极限 lim|x->0 [(sinx-xcosx)/(sinx)^3]
lim(sinx-xcosx)/x(1-cosx)用洛必达法则求极限(x)趋近于0
不用洛必达法则求lim(x趋向于0) (sinx-x)/x^3的极限
利用带有佩亚诺型余项的麦克劳林公式求极限lim(x→0)(sinx-xcosx)/(sin^3x)
洛必达法则求极限问题请说明为什么lim(x-->正无穷)(x+sinx)/x的极限是不定式的极限,为什么不能用洛必达法则
求极限lim x→0 (x-xcosx)/(x-sinx)
用洛必达法则求极限 1,lim(x→0)arctanx-x/sinx^3 2,lim(x→0)lncosax/lncos
怎样用洛必达法则求这个函数的极限:lim (x→0) ( sinx)^tanx
lim【x-0】sinx/arcsinx的极限(不用洛必达法则求)
用洛必达法则求lim x→0 tanx-x /(x-sinx)的极限?
用洛必达法则求lim x→0 tanx-x /(x²sinx)的极限